题目

已知D(X)=9，D(Y)=4，相关系数ρXY=0.4，求D(X+2Y)，D(2X−3Y).

已知D(X)=9，D(Y)=4，相关系数ρXY=0.4，求D(X+2Y)，D(2X−3Y).

题目解答

答案

D(X+2Y)=D(X)+D(2Y)+2COV(X,2X)=D(X)+D(2Y)+4COV(X，Y)=D(X)+4D(Y)+4ρXYD(X)−−−−−√D(Y)−−−−−√=9+16+1.6×9√×4√=34.6，

D(2X−3Y)=4D(X)+9D(Y)−12ρXYD(X)−−−−−√D(Y)−−−−−√=36+36−4.8×9√×4√=43.2，

解析

步骤 1：计算D(X+2Y)
根据方差的性质，D(X+2Y) = D(X) + D(2Y) + 2COV(X, 2Y)。其中，D(2Y) = 4D(Y)，COV(X, 2Y) = 2COV(X, Y)。而COV(X, Y) = ρXY * D(X)^(1/2) * D(Y)^(1/2)。
步骤 2：计算D(2X−3Y)
根据方差的性质，D(2X−3Y) = 4D(X) + 9D(Y) − 12COV(X, Y)。其中，COV(X, Y) = ρXY * D(X)^(1/2) * D(Y)^(1/2)。
步骤 3：代入已知值
将D(X)=9，D(Y)=4，ρXY=0.4代入上述公式中，计算D(X+2Y)和D(2X−3Y)的值。