由以往的临床记录,某种诊断癌症的试验具有如下效果:被诊断 者有癌症,试验反应为阳性的概率为 0.95;被诊断者没有癌症,试验 反应为阴性的概率为 0.95 现对自然人群进行普查,设被试验的人 群中患有癌症的概率为 0.005,求:已知试验反应为阳性,该被诊断 者确有癌症的概率 .

考查要点：本题主要考查贝叶斯定理的应用，涉及条件概率的理解与计算。关键在于正确识别题目中的各个概率关系，并准确代入公式。

解题核心思路：

1. 明确事件定义：设A为“患有癌症”，B为“试验反应为阳性”。
2. 确定已知条件：
   • 先验概率：$P(A)=0.005$，$P(\neg A)=0.995$
   • 条件概率：$P(B|A)=0.95$，$P(\neg B|\neg A)=0.95$（需注意$P(B|\neg A)=1-0.95=0.05$）
3. 目标：求后验概率$P(A|B)$，即“阳性结果下确实患癌的概率”。

破题关键点：

• 正确转换条件概率：题目中“无癌时阴性概率为0.95”，需转化为“无癌时阳性概率为0.05”。
• 贝叶斯公式的准确应用：分子为“患癌且阳性”的联合概率，分母为所有可能引起阳性的概率之和。

步骤1：定义事件与已知条件

• 设$A$表示“患有癌症”，$\neg A$表示“没有癌症”，$B$表示“试验反应为阳性”。
• 已知：
  $P(A)=0.005,\quad P(\neg A)=0.995$
  $P(B|A)=0.95,\quad P(\neg B|\neg A)=0.95 \implies P(B|\neg A)=1-0.95=0.05$

步骤2：应用贝叶斯定理
目标概率为：
$P(A|B) = \frac{P(B|A)P(A)}{P(B|A)P(A) + P(B|\neg A)P(\neg A)}$

步骤3：代入数值计算

• 分子：
  $P(B|A)P(A) = 0.95 \times 0.005 = 0.00475$
• 分母：
  $P(B|A)P(A) + P(B|\neg A)P(\neg A) = 0.95 \times 0.005 + 0.05 \times 0.995 = 0.00475 + 0.04975 = 0.0545$
• 最终结果：
  $P(A|B) = \frac{0.00475}{0.0545} \approx 0.087$