题目
某钢筋混凝土简支梁(2级水工建筑物)，其净跨 l_n=5.76,(m)，计算跨度 l_0=6.0,(m)；截面尺寸 btimes h=250,(mm)times500,(mm)；梁承受板传来的永久荷载标准值 g_(1k)=10,(kN/m)，可变荷载标准值 q_k=12,(kN/m)，跨中承受集中荷载标准值 G_k=22,(kN)。求基本组合下跨中截面弯矩设计值、支座边缘截面剪力设计值。
某钢筋混凝土简支梁(2级水工建筑物)，其净跨 $l_n=5.76\,\text{m}$，计算跨度 $l_0=6.0\,\text{m}$；截面尺寸 $b\times h=250\,\text{mm}\times500\,\text{mm}$；梁承受板传来的永久荷载标准值 $g_{1k}=10\,\text{kN/m}$，可变荷载标准值 $q_k=12\,\text{kN/m}$，跨中承受集中荷载标准值 $G_k=22\,\text{kN}$。求基本组合下跨中截面弯矩设计值、支座边缘截面剪力设计值。
题目解答
答案
根据题目条件，将荷载转换为设计值：
\[
g = 1.2 \times 10 = 12 \, \text{kN/m}, \quad q = 1.4 \times 12 = 16.8 \, \text{kN/m}, \quad G = 1.4 \times 22 = 30.8 \, \text{kN}
\]
跨中弯矩设计值：
\[
M = \frac{1}{8} (12 + 16.8) \times 6^2 + \frac{1}{4} \times 30.8 \times 6 = 129.6 + 46.2 = 175.8 \, \text{kN·m}
\]
支座边缘剪力设计值：
\[
V = \frac{1}{2} (12 + 16.8) \times 6 + 30.8 = 86.4 + 30.8 = 117.2 \, \text{kN}
\]
最终结果：
\[
M = 175.8 \, \text{kN·m}, \quad V = 117.2 \, \text{kN}
\]
解析
考查要点：本题主要考查荷载组合设计值的计算及简支梁跨中弯矩和支座剪力的确定方法。
解题核心思路：
- 荷载组合转换：根据承载能力极限状态设计要求，将永久荷载和可变荷载的标准值转换为设计值，需注意分项系数的选取。
- 荷载效应组合：将均布荷载和集中荷载的设计值分别代入简支梁的内力计算公式，组合得到跨中弯矩和支座剪力设计值。
破题关键点：
- 分项系数应用：永久荷载分项系数取1.2，可变荷载分项系数取1.4。
- 荷载效应公式：均布荷载下跨中弯矩公式为 $\frac{1}{8}ql_0^2$，集中荷载下跨中弯矩为 $\frac{1}{4}Gl_0$；支座剪力为均布荷载总值的一半加上集中荷载。
1. 荷载转换为设计值
- 永久荷载设计值：$g = 1.2 \times g_{1k} = 1.2 \times 10 = 12 \, \text{kN/m}$
- 可变荷载设计值：$q = 1.4 \times q_k = 1.4 \times 12 = 16.8 \, \text{kN/m}$
- 集中荷载设计值：$G = 1.4 \times G_k = 1.4 \times 22 = 30.8 \, \text{kN}$
2. 跨中弯矩设计值计算
- 均布荷载部分：
总均布荷载设计值为 $g + q = 12 + 16.8 = 28.8 \, \text{kN/m}$，对应弯矩为：
$M_{\text{均布}} = \frac{1}{8}(g + q)l_0^2 = \frac{1}{8} \times 28.8 \times 6^2 = 129.6 \, \text{kN·m}$ - 集中荷载部分：
集中荷载弯矩为：
$M_{\text{集中}} = \frac{1}{4}Gl_0 = \frac{1}{4} \times 30.8 \times 6 = 46.2 \, \text{kN·m}$ - 总弯矩设计值：
$M = M_{\text{均布}} + M_{\text{集中}} = 129.6 + 46.2 = 175.8 \, \text{kN·m}$
3. 支座剪力设计值计算
- 均布荷载部分：
均布荷载总值的一半为：
$\frac{1}{2}(g + q)l_0 = \frac{1}{2} \times 28.8 \times 6 = 86.4 \, \text{kN}$ - 集中荷载部分：
集中荷载直接传递到支座：
$G = 30.8 \, \text{kN}$ - 总剪力设计值：
$V = 86.4 + 30.8 = 117.2 \, \text{kN}$