已知边际成本为 C'(x)=30+4x, 边际收益为 R'(x)=60-2x, 则最大利润(设固定成本为0, R(0)=0)为()。A. 100B. 75C. 50D. 25

本题考查利用边际成本和边际收益求最大利润，解题思路如下：

1. 首先明确利润函数$L(x)$与成本函数$C(x)$、收益函数$R(x)$的关系为$L(x)=R(x)-C(x)$。
2. 然后根据边际成本和边际收益的定义，通过积分求出成本函数$C(x)$和收益函数$R(x)$。
3. 接着得到利润函数$L(x)$，对其求导并令导数为$0$，求出可能的极值点。
4. 最后判断该极值点是否为最大值点，并求出最大利润。

步骤一：求成本函数$C(x)$

已知边际成本$C^\prime(x)=30 + 4x$，且固定成本$C(0)=0$，根据不定积分的定义，成本函数$C(x)$是边际成本$C^\prime(x)$的一个原函数，所以对$C^\prime(x)$进行积分可得：
$C(x)=\int (30 + 4x)dx$
根据积分公式$\int kdx=kx+C$（$k$为常数）和$\int x^n dx=\frac{1}{n + 1}x^{n + 1}+C$（$n\neq -1$），可得：
$C(x)=30x + \frac{4}{2}x^2 + C_1=30x + 2x^2 + C_1$
将$C(0)=0$代入上式，可得$0 = 30\times 0 + 2\times 0^2 + C_1$，解得$C_1 = 0$，所以成本函数$C(x)=30x + 2x^2$。

步骤二：求收益函数$R(x)$

已知边际收益$R^\prime(x)=60 - 2x$，且$R(0)=0$，同理，收益函数$R(x)$是边际收益$R^\prime(x)$的一个原函数，对$R^\prime(x)$进行积分可得：
$R(x)=\int (60 - 2x)dx$
根据积分公式可得：
$R(x)=60x - \frac{2}{2}x^2 + C_2=60x - x^2 + C_2$
将$R(0)=0$代入上式，可得$0 = 60\times 0 - 0^2 + C_2$，解得$C_2 = 0$，所以收益函数$R(x)=60x - x^2$。

步骤三：求利润函数$L(x)$

由利润函数$L(x)=R(x)-C(x)$，将$R(x)=60x - x^2$和$C(x)=30x + 2x^2$代入可得：
$L(x)=(60x - x^2)-(30x + 2x^2)=60x - x^2 - 30x - 2x^2=-3x^2 + 30x$

步骤四：求利润函数的极值点

对利润函数$L(x)=-3x^2 + 30x$求导，根据求导公式$(X^n)^\prime=nX^{n - 1}$可得：
$L^\prime(x)=(-3x^2 + 30x)^\prime=-3\times 2x + 30=-6x + 30$
令$L^\prime(x)=0$，即$-6x + 30 = 0$，移项可得$6x = 30$，解得$x = 5$。

步骤五：判断极值点是否为最大值点并求最大利润

对$L^\prime(x)=-6x + 30$再次求导，可得$L^{\prime\prime}(x)=(-6x + 30)^\prime=-6\lt 0$，说明利润函数$L(x)$在$x = 5$处取得极大值，又因为利润函数只有一个极值点，所以该极大值就是最大值。
将$x = 5$代入利润函数$L(x)=-3x^2 + 30x$可得：
$L(5)=-3\times 5^2 + 30\times 5=-3\times 25 + 150=-75 + 150 = 75$