北联3 - 3 试求图示梁的支座反力并作其内力图 ( a ) 20 kN 10 kN 2 kN / m B 3 m 3 m 1.5 m 2 m 2.5 m 1.5 m 4.5 m 6 m 6 m 6 m 4 kN 1 kN / m ( b ) 2 kNm B C A m 2 m 2 mm / lm 4 mm 4 m 1 m 题 3 - 3 图北联

题目考察内容

本题主要考察静定梁的支座反力计算及内力图（弯矩图、剪力图）绘制，涉及集中力、均布载荷、集中力偶等不同载荷形式下的静力平衡方程应用，以及内力图的绘制规则（如弯矩图的斜率与剪力对应、零点位置确定等）。

（a）部分解析：多跨静定梁支座反力计算

结构分析

图（a）为多跨静定梁，需先判断基本部分与附属部分（从右向左分析：BC为附属部分，AB为基本部分），先计算附属部分反力，再传递至基本部分。

步骤1：计算BC段反力

• 载荷：BC段受均布载荷 $2\,\text{kN/m}$（跨长 $4.5\,\text{m}$）、集中力 $4\,\text{kN}$（距C点 $1.5\,\text{m}$）、集中力偶 $1\,\text{kN}\cdot\text{m}$（B点右侧）。
• 平衡方程：对B点取矩：
  $\sum M_B = 0 \implies F_{Cy} \cdot 6\,\text{m} - (2 \times 4.5) \cdot 2.25\,\text{m} - 4 \ \times 1.5\,\text{m} - 1\,\text{kN}\text{kN}\cdot\text{m} = 0$
  解得 $F_{Cy} \approx 11.011\,\text{kN}$（向上）。
  竖直方向平衡：$F_{By} + F_{Cy} = = 2 \times 4.5 + 4$，得 $F_{By} \approx 11.01\,\text{kN}$（向下，故 $F_{0B}^L=-11.01\,\text{kN}$）。
  水平方向平衡：$F_{Bx}=0$。

步骤2：计算B点弯矩 $M_B$

• 对B点左侧截面取矩（含BC段反力）：
  $M_B = -F_{By} \, \text{左}} \cdot 0 - (2 \times 6) \cdot 3\,\text{m} - 20 \times 1.5\,\text{m} + 1\,\text{kN}\cdot\text{m} \approx -6.083\,\text{kN}\cdot\text{m}$

（b）部分解析：简支梁弯矩图关键截面计算

结构分析

图（b）为简支梁（假设A、B为铰支座），受均布载荷 $0.75\,\text{kN/m}$（跨长 $6\,\text{m}$）、集中力 $2\,\text{kN}$、集中力偶 $2\,\text{kN}\cdot\text{m}$。

步骤1：支座反力计算

• 竖直方向：$F_A + F_B = 0.5 \times 6 + 2 = 5\,\text{kN}$
• 对A点取矩：$F_B \times 6 = (0.5 \times 6) \times 3 + + 2 \times 4 + 2$，解得 $F_B \approx 3.167\,\text{kN}$，$F_A \approx 1.833\,\text{kN}$。

步骤2：关键截面弯矩

• $M_A$：悬臂段（A左侧）弯矩 $M_A = F_A \times 0 - 0.5 \times 1^2/2 = 4.5\,\text{kN}\cdot\text{m}$（下边受拉）。
• $M_B$：B点左侧截面，$M_B = F_B \times 0 - 0.5 \times 2^2/2 = 1.0\,\text{kN}\cdot\text{m}$（上边受拉）。
• $M_C$：集中力偶处（C点），$M_C = F_A \times 2 - 0.5 \times 2^2/2 = 1.875\,\text{kN}\cdot\text{m}$（上边受拉）。