题目
平面一般力系组合梁ABC的支承与受力情况如图所示.已知P=30 kN,Q=20 kN,theta =45度.求支座A和C的约束反力. theta =45
平面一般力系组合梁ABC的支承与受力情况如图所示.已知P=30 kN,Q=20 kN,
度.求支座A和C的约束反力.
题目解答
答案
计算支座A和C的约束反力，首先需要了解力系的受力情况以及支座的类型。假设支座A为铰支座，支座C为滚动支座。
1. 受力分析
根据题意，已知：
外力
外力
角度
我们可以将外力 ( P ) 分解为水平方向和竖直方向的分力：
2. 力的平衡条件
对于梁ABC的平衡，我们使用静力学平衡方程：
水平方向的平衡：
其中，
和
分别为支座A和C的水平反力。
垂直方向的平衡：
其中，
和
分别为支座A和C的竖直反力。
力矩平衡（关于任意一点，通常选择支座A）：
3. 力矩的计算
选择支座A作为旋转点：
将已知力代入：
进一步简化：
4. 将反力代入平衡方程
现在将代入垂直方向的平衡方程：
5. 水平反力的计算
在水平方向的平衡方程中：
由于支座C为滚动支座，只能承受垂直力，因此
。
因此，
6. 结果
最后，得出支座A和C的反力：
支座A的反力：
水平反力
垂直反力
支座C的反力：
水平反力
垂直反力
解析
步骤 1：受力分析
根据题意，已知：外力$P=30kN$，外力$Q=20kN$，角度$\theta =45^{\circ}$。我们可以将外力$P$分解为水平方向和竖直方向的分力：
${P}_{x}=P\cdot \cos (\theta )=30\cdot \cos (45^{\circ })=30\cdot \dfrac {\sqrt {2}}{2}=15\sqrt {2}kN$
${P}_{y}=P\cdot \sin (\theta )=30\cdot \sin (45^{\circ })=30\cdot \dfrac {\sqrt {2}}{2}=15\sqrt {2}kN$
步骤 2：力的平衡条件
对于梁ABC的平衡，我们使用静力学平衡方程：
水平方向的平衡：
${R}_{Ax}+{R}_{Cx}={P}_{x}$
其中，${R}_{Ax}$和${R}_{Cx}$分别为支座A和C的水平反力。
垂直方向的平衡：
${R}_{Ay}+{R}_{Cy}={P}_{y}+Q$
其中，${R}_{Ay}$和${R}_{Cy}$分别为支座A和C的竖直反力。
力矩平衡（关于任意一点，通常选择支座A）：
$\sum _{n}^{\infty }{M}_{A}=0$
步骤 3：力矩的计算
选择支座A作为旋转点：
${M}_{A}={R}_{Cy}\cdot 6-Q\cdot 2-{P}_{y}\cdot 4=0$
将已知力代入：
${R}_{Cy}\cdot 6=40+60\sqrt {2}$
${R}_{Cy}=\dfrac {40+60\sqrt {2}}{6}$
进一步简化：
${R}_{Cy}\approx \dfrac {40+84.85}{6}\approx 20.81kN$
步骤 4：将反力代入平衡方程
现在将${R}_{Cy}$代入垂直方向的平衡方程：
${R}_{Ay}+20.81=15\sqrt {2}+20$
${R}_{Ay}=15\sqrt {2}+20-20.81$
${R}_{Ay}\approx 21.21+20-20.81\approx 20.4kN$
步骤 5：水平反力的计算
在水平方向的平衡方程中：
${R}_{Ax}+{R}_{Cx}=15\sqrt {2}$
由于支座C为滚动支座，只能承受垂直力，因此${R}_{Cx}=0$。
因此，
${R}_{Ax}=15\sqrt {2}\approx 21.21kN$
根据题意，已知：外力$P=30kN$，外力$Q=20kN$，角度$\theta =45^{\circ}$。我们可以将外力$P$分解为水平方向和竖直方向的分力：
${P}_{x}=P\cdot \cos (\theta )=30\cdot \cos (45^{\circ })=30\cdot \dfrac {\sqrt {2}}{2}=15\sqrt {2}kN$
${P}_{y}=P\cdot \sin (\theta )=30\cdot \sin (45^{\circ })=30\cdot \dfrac {\sqrt {2}}{2}=15\sqrt {2}kN$
步骤 2：力的平衡条件
对于梁ABC的平衡，我们使用静力学平衡方程：
水平方向的平衡：
${R}_{Ax}+{R}_{Cx}={P}_{x}$
其中，${R}_{Ax}$和${R}_{Cx}$分别为支座A和C的水平反力。
垂直方向的平衡：
${R}_{Ay}+{R}_{Cy}={P}_{y}+Q$
其中，${R}_{Ay}$和${R}_{Cy}$分别为支座A和C的竖直反力。
力矩平衡（关于任意一点，通常选择支座A）：
$\sum _{n}^{\infty }{M}_{A}=0$
步骤 3：力矩的计算
选择支座A作为旋转点：
${M}_{A}={R}_{Cy}\cdot 6-Q\cdot 2-{P}_{y}\cdot 4=0$
将已知力代入：
${R}_{Cy}\cdot 6=40+60\sqrt {2}$
${R}_{Cy}=\dfrac {40+60\sqrt {2}}{6}$
进一步简化：
${R}_{Cy}\approx \dfrac {40+84.85}{6}\approx 20.81kN$
步骤 4：将反力代入平衡方程
现在将${R}_{Cy}$代入垂直方向的平衡方程：
${R}_{Ay}+20.81=15\sqrt {2}+20$
${R}_{Ay}=15\sqrt {2}+20-20.81$
${R}_{Ay}\approx 21.21+20-20.81\approx 20.4kN$
步骤 5：水平反力的计算
在水平方向的平衡方程中：
${R}_{Ax}+{R}_{Cx}=15\sqrt {2}$
由于支座C为滚动支座，只能承受垂直力，因此${R}_{Cx}=0$。
因此，
${R}_{Ax}=15\sqrt {2}\approx 21.21kN$