T形截面简支梁，b'_t=500mm，h'_t=100mm，b=200mm，h=500mm，结构安全等级为二级，环境类别为一类，混凝土强度等级 C30，钢筋采用 HRB400 级。求下列情况下截面所能抵抗的极限弯矩 M_u。(1) 纵向受拉钢筋 A_s=942mm^2（3 Phi 20），a_s=40mm。(2) 纵向受拉钢筋 A_s=1884mm^2（6 Phi 20），a_s=65mm。
T形截面简支梁，$b'_t=500mm$，$h'_t=100mm$，$b=200mm$，$h=500mm$，结构安全等级为二级，环境类别为一类，混凝土强度等级 C30，钢筋采用 HRB400 级。求下列情况下截面所能抵抗的极限弯矩 $M_u$。 (1) 纵向受拉钢筋 $A_s=942mm^2$（3 $\Phi$ 20），$a_s=40mm$。 (2) 纵向受拉钢筋 $A_s=1884mm^2$（6 $\Phi$ 20），$a_s=65mm$。
题目解答
答案
-
第一种情况：
$ h_0 = 460 \, \text{mm} $，$ x = \frac{f_y A_s}{f_c b'} = \frac{360 \times 942}{14.3 \times 500} = 47.4 \, \text{mm} $。
$ M_u = f_y A_s (h_0 - 0.5 x) = 360 \times 942 \times (460 - 23.7) = 147.96 \, \text{kN·m} $。 -
第二种情况：
$ h_0 = 435 \, \text{mm} $，$ x = \frac{f_y A_s}{f_c b'} = \frac{360 \times 1884}{14.3 \times 500} = 94.8 \, \text{mm} $。
$ M_u = f_y A_s (h_0 - 0.5 x) = 360 \times 1884 \times (435 - 47.4) = 262.8 \, \text{kN·m} $。
最终结果：
- $ M_u \approx 148 \, \text{kN·m} $。
- $ M_u \approx 263 \, \text{kN·m} $。
解析
考查要点：本题主要考查T形截面受弯构件正截面承载力计算，重点在于判断中和轴位置并选择正确的截面类型进行计算。
解题核心思路：
- 确定有效高度 $h_0 = h - a_s$；
- 计算中和轴高度 $x = \frac{f_y A_s}{f_c b'}$，判断是否满足 $x \leq h'_t$；
- 若 $x \leq h'_t$，按第一类T形截面计算极限弯矩 $M_u = f_y A_s (h_0 - 0.5x)$；
- 若 $x > h'_t$，需按第二类T形截面分两部分计算（本题未涉及）。
破题关键点：
- 中和轴位置判断是选择截面类型的依据；
- 单位统一（长度单位为毫米，力单位为牛顿）；
- 公式应用需注意系数 $0.5x$ 的几何意义。
第（1）题
计算有效高度
$h_0 = h - a_s = 500 - 40 = 460 \, \text{mm}$
计算中和轴高度
$x = \frac{f_y A_s}{f_c b'} = \frac{360 \times 942}{14.3 \times 500} \approx 47.4 \, \text{mm}$
判断截面类型
因 $x = 47.4 \, \text{mm} < h'_t = 100 \, \text{mm}$，属于第一类T形截面。
计算极限弯矩
$M_u = f_y A_s (h_0 - 0.5x) = 360 \times 942 \times (460 - 0.5 \times 47.4) \approx 147.96 \, \text{kN·m}$
第（2）题
计算有效高度
$h_0 = h - a_s = 500 - 65 = 435 \, \text{mm}$
计算中和轴高度
$x = \frac{f_y A_s}{f_c b'} = \frac{360 \times 1884}{14.3 \times 500} \approx 94.8 \, \text{mm}$
判断截面类型
因 $x = 94.8 \, \text{mm} < h'_t = 100 \, \text{mm}$，仍属于第一类T形截面。
计算极限弯矩
$M_u = f_y A_s (h_0 - 0.5x) = 360 \times 1884 \times (435 - 0.5 \times 94.8) \approx 262.8 \, \text{kN·m}$