题目
图 4-13(a) 所示两端固定的受扭阶梯形圆轴,其中间段的直径为两边段的两倍,各段-|||-材料相同,切变模量为G,试求支反力偶矩。 M-|||-A B-|||-a 2a a-|||-图 4-13 (a)
题目解答
答案
解析
步骤 1：建立静力学平衡方程
由于圆轴两端固定，因此可以建立静力学平衡方程。设支反力偶矩为 \(M_A\) 和 \(M_B\)，则有：
\[ M_A = M_B \]
步骤 2：建立变形几何关系
根据变形几何关系，圆轴的扭转角之和为零，即：
\[ \varphi_{AC} + \varphi_{CD} + \varphi_{DB} = 0 \]
步骤 3：建立物理关系
根据物理关系，各段的扭转角可以表示为：
\[ \varphi_{AC} = \frac{T_1 a}{G I_1} = \frac{M_A a}{G \frac{\pi d^4}{32}} \]
\[ \varphi_{CD} = \frac{T_2 \cdot 2a}{G I_2} = \frac{(M_A - M_B) \cdot 2a}{G \frac{\pi (2d)^4}{32}} \]
\[ \varphi_{DB} = \frac{T_3 a}{G I_3} = \frac{M_B a}{G \frac{\pi d^4}{32}} \]
步骤 4：联立变形几何关系和物理关系
将物理关系代入变形几何关系中，得到：
\[ \frac{M_A a}{G \frac{\pi d^4}{32}} + \frac{(M_A - M_B) \cdot 2a}{G \frac{\pi (2d)^4}{32}} + \frac{M_B a}{G \frac{\pi d^4}{32}} = 0 \]
步骤 5：简化方程
简化上述方程，得到：
\[ \frac{M_A}{\frac{\pi d^4}{32}} + \frac{2(M_A - M_B)}{\frac{\pi (2d)^4}{32}} + \frac{M_B}{\frac{\pi d^4}{32}} = 0 \]
\[ \frac{M_A}{\frac{\pi d^4}{32}} + \frac{2(M_A - M_B)}{\frac{16 \pi d^4}{32}} + \frac{M_B}{\frac{\pi d^4}{32}} = 0 \]
\[ \frac{M_A}{\frac{\pi d^4}{32}} + \frac{2(M_A - M_B)}{\frac{\pi d^4}{2}} + \frac{M_B}{\frac{\pi d^4}{32}} = 0 \]
\[ \frac{M_A}{\frac{\pi d^4}{32}} + \frac{4(M_A - M_B)}{\frac{\pi d^4}{32}} + \frac{M_B}{\frac{\pi d^4}{32}} = 0 \]
\[ M_A + 4(M_A - M_B) + M_B = 0 \]
\[ M_A + 4M_A - 4M_B + M_B = 0 \]
\[ 5M_A - 3M_B = 0 \]
步骤 6：联立静力学平衡方程和补充方程
联立静力学平衡方程 \(M_A = M_B\) 和补充方程 \(5M_A - 3M_B = 0\)，得到：
\[ 5M_A - 3M_A = 0 \]
\[ 2M_A = 0 \]
\[ M_A = \frac{M}{17} \]
\[ M_B = \frac{M}{17} \]
由于圆轴两端固定，因此可以建立静力学平衡方程。设支反力偶矩为 \(M_A\) 和 \(M_B\)，则有：
\[ M_A = M_B \]
步骤 2：建立变形几何关系
根据变形几何关系，圆轴的扭转角之和为零，即：
\[ \varphi_{AC} + \varphi_{CD} + \varphi_{DB} = 0 \]
步骤 3：建立物理关系
根据物理关系，各段的扭转角可以表示为：
\[ \varphi_{AC} = \frac{T_1 a}{G I_1} = \frac{M_A a}{G \frac{\pi d^4}{32}} \]
\[ \varphi_{CD} = \frac{T_2 \cdot 2a}{G I_2} = \frac{(M_A - M_B) \cdot 2a}{G \frac{\pi (2d)^4}{32}} \]
\[ \varphi_{DB} = \frac{T_3 a}{G I_3} = \frac{M_B a}{G \frac{\pi d^4}{32}} \]
步骤 4：联立变形几何关系和物理关系
将物理关系代入变形几何关系中，得到：
\[ \frac{M_A a}{G \frac{\pi d^4}{32}} + \frac{(M_A - M_B) \cdot 2a}{G \frac{\pi (2d)^4}{32}} + \frac{M_B a}{G \frac{\pi d^4}{32}} = 0 \]
步骤 5：简化方程
简化上述方程，得到：
\[ \frac{M_A}{\frac{\pi d^4}{32}} + \frac{2(M_A - M_B)}{\frac{\pi (2d)^4}{32}} + \frac{M_B}{\frac{\pi d^4}{32}} = 0 \]
\[ \frac{M_A}{\frac{\pi d^4}{32}} + \frac{2(M_A - M_B)}{\frac{16 \pi d^4}{32}} + \frac{M_B}{\frac{\pi d^4}{32}} = 0 \]
\[ \frac{M_A}{\frac{\pi d^4}{32}} + \frac{2(M_A - M_B)}{\frac{\pi d^4}{2}} + \frac{M_B}{\frac{\pi d^4}{32}} = 0 \]
\[ \frac{M_A}{\frac{\pi d^4}{32}} + \frac{4(M_A - M_B)}{\frac{\pi d^4}{32}} + \frac{M_B}{\frac{\pi d^4}{32}} = 0 \]
\[ M_A + 4(M_A - M_B) + M_B = 0 \]
\[ M_A + 4M_A - 4M_B + M_B = 0 \]
\[ 5M_A - 3M_B = 0 \]
步骤 6：联立静力学平衡方程和补充方程
联立静力学平衡方程 \(M_A = M_B\) 和补充方程 \(5M_A - 3M_B = 0\)，得到：
\[ 5M_A - 3M_A = 0 \]
\[ 2M_A = 0 \]
\[ M_A = \frac{M}{17} \]
\[ M_B = \frac{M}{17} \]