假设某企业生产的一种产品的市场需求量 Q ( 件 ) 与其 价格 p ( 万元 / 件 ) 的关系为 Q ( p ) = 120 - 8 p， 其总成本函数为 C ( Q ) = 100 + 5 Q， 问当 p 为多少时企业所获的利润最大， 最大利润为多少？

本题可先根据已知条件建立利润函数，再利用求导的方法求出利润函数的最大值。

步骤一：建立利润函数

利润等于总收益减去总成本，我们需要先分别求出总收益函数和总成本函数，再据此建立利润函数。

• 求总收益函数$R(p)$：总收益等于产品价格乘以销售量，已知产品的市场需求量$Q(p)=120 - 8p$，即销售量为$Q(p)$，价格为$p$，则总收益函数为：$R(p)=p\times Q(p)=p(120 - 8p)=120p - 8p^2$
• 求总成本函数$C(p)$：已知总成本函数为$C(Q)=100 + 5Q$，我们需要将$Q = 120 - 8p$代入到$C(Q)$中，得到关于$p$的总成本函数：$C(p)=100 + 5(120 - 8p)=100 + 600 - 40p=700 - 40p$
• 建立利润函数$L(p)$：根据利润等于总收益减去总成本，可得利润函数为：$L(p)=R(p)-C(p)=(120p - 8p^2)-(700 - 40p)=- 8p^2 + 160p - 700$

步骤二：求利润函数的最大值

• 求利润函数的导数$L^\prime(p)$：对$L(p)=- 8p^2 + 160p - 700$求导，根据求导公式$(X^n)^\prime=nX^{n - 1}$可得：$L^\prime(p)=(- 8p^2 + 160p - 700)^\prime=-16p + 160$
• 求利润函数的驻点：令$L^\prime(p)=0$，即$-16p + 160 = 0$，解方程可得：$-16p=-160$，$p = 10$
• 判断驻点是否为极值点：对$L^\prime(p)=-16p + 160$再次求导，可得$L^{\prime\prime}(p)=(-16p + 160)^\prime=-16\lt0$。 因为$L^{\prime\prime}(10)=-16\lt0$，所以$p = 10$是利润函数$L(p)$的极大值点，又因为该函数只有一个驻点，所以$p = 10$也是利润函数的最大值点。
• 求最大利润：将$p = 10$代入到利润函数$L(p)=- 8p^2 + 160p - 700$中，可得：$L(10)=- 8\times10^2 + 160\times10 - 700=-800 + 1600 - 700 = 100$（万元）

综上，当$p = 10$万元/件时企业所获的利润最大，最大利润为$100$万元。