题目

例题5 一劲度系数为k的轻弹簧,上端固定,下端系质量为m的物体.把物体静止时所-|||-处的位置(图 1-3-34 中过O点的水平面)叫做平衡位置.扰动这个系统,使物体以初速度-|||-v0离开平衡位置.当物体相对于平衡位置有一位移x时,求物体运动的速度、加速度和作用于-|||-物体的力,并求物体的最大位移.计算时不考虑空气阻力.-|||-解:当物体由平衡位置过渡到图中位置时,重力和弹性力都要做功.求出这两种力做的功-|||-就可用质点的动能定理确定速度的大小,从而求出加速度和物体所受的 么-|||-力.-|||-过平衡位置O点向下作x轴.当物体处于平衡位置时,弹簧的伸长-|||-为dfrac (mg)(k) 在物体从平衡位置过渡到图中位置时,弹性力做的功为-|||-么-|||-ō-|||-square |x-|||-图 1-3-34-|||-_(k)=-[ dfrac (1)(2)k((dfrac {mg)(k)+x)}^2-dfrac (1)(2)k((dfrac {mg)(k))}^2] -|||-=-mgx-dfrac (1)(2)k(x)^2-|||-重力做的功为-|||-_(G)=mgx-|||-设物体在图中位置的速度为v,由质点的动能定理,有-|||-重力做的功为-|||-_(G)=mgx-|||-设物体在图中位置的速度为v,由质点的动能定理,有-|||-dfrac (1)(2)m(v)^2-dfrac (1)(2)m({v)_(0)}^2-|||-=-mgx-dfrac (1)(2)k(x)^2+mgx-|||-=-dfrac (1)(2)k(x)^2-|||-=pm sqrt (dfrac {m{{v)_(0)}^2-k(x)^2}(m)} (1)-|||-式中:正号表示物体向下运动,负号表示向上运动,我们取正号.-|||-设物体的加速度在x轴上的投影为a-|||-=dfrac (dv)(dt)=dfrac (dv)(dx)dfrac (dx)(dt)=vdfrac (dv)(dx)-|||-=((dfrac {m{{v)_(0)}^2-k(x)^2}(m))}^dfrac (1{2)}cdot dfrac (1)(2)((dfrac {m{{v)_(0)}^2-k(x)^2}(m))}^dfrac (1{2)}cdot dfrac (-2-|||-=-dfrac {kx)(m)-|||-物体所受的合力在x轴上的投影为-|||-F=ma=-kx-|||-当物体达到最大位移的位置时,瞬时速度为零,即振动在这个位置改变运动的方向.在-|||-(1)式中,命 =0, 便可求出向下的最大位移-|||-_(max)=sqrt (dfrac {m)(k)}(t)_(0)

题目解答

答案

解析

本题考查机械能守恒定律在弹簧振子问题中的应用。关键点在于：

  1. 正确选择势能零点：通常取平衡位置为重力势能零点，弹簧原长位置为弹性势能零点，但需注意平衡位置时弹簧已有形变。
  2. 机械能守恒条件：系统仅受保守力（重力、弹力）作用，无非保守力做功。
  3. 能量转换关系：动能与重力势能、弹性势能之间动态转换，总机械能保持不变。

步骤1：确定势能零点与初始机械能

  • 重力势能零点：取平衡位置为重力势能零点。
  • 弹性势能零点：取弹簧原长位置为弹性势能零点。
  • 初始时刻（平衡位置）：
    • 弹性势能：$U_{\text{弹,初}} = \frac{1}{2}k\left(\frac{mg}{k}\right)^2$（平衡时弹簧伸长$\frac{mg}{k}$）。
    • 重力势能：$U_{\text{重,初}} = 0$。
    • 初始动能：$K_{\text{初}} = \frac{1}{2}mv_0^2$。
    • 总机械能：$E = \frac{1}{2}mv_0^2 + \frac{1}{2}k\left(\frac{mg}{k}\right)^2$。

步骤2：任意位置$x$的机械能表达式

  • 弹性势能：$U_{\text{弹}} = \frac{1}{2}k\left(\frac{mg}{k} + x\right)^2$。
  • 重力势能：$U_{\text{重}} = -mgx$（向下移动$x$，重力势能减少）。
  • 动能：$K = \frac{1}{2}mv^2$。
  • 机械能守恒方程：
    $\frac{1}{2}mv_0^2 + \frac{1}{2}k\left(\frac{mg}{k}\right)^2 = \frac{1}{2}mv^2 - mgx + \frac{1}{2}k\left(\frac{mg}{k} + x\right)^2$

步骤3：化简方程求速度$v$

展开并整理方程：
$\frac{1}{2}mv_0^2 = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}kx^2$
解得：
$v = \pm \sqrt{\frac{m v_0^2 - kx^2}{m}}$

步骤4：求加速度$a$

利用$a = \frac{dv}{dt} = v \frac{dv}{dx}$，代入$v$的表达式，最终得：
$a = -\frac{k}{m}x$

步骤5：求最大位移$x_{\text{max}}$

当速度$v = 0$时，物体达到最大位移：
$x_{\text{max}} = v_0 \sqrt{\frac{m}{k}}$