题目
求指导本题解题过程，谢谢您！10.从一批钉子中随机抽取16枚,测得其长度(单位:cm)为-|||-2.14, 2.10, 2.13, 2.15, 2.13, 2.12, 2.13, 2.10-|||-2.15, 2.12,2.14, 2.10, 2.13, 2.11,2.14, 2.11-|||-假设钉子的长度X服从正态分布N(μ,σ^2 ),在下列两种情况下分别求总体-|||-均值μ的置信度为90%的置信区间。-|||-(1)已知 sigma =0.01;-|||-(2)σ未知.
求指导本题解题过程，谢谢您！
题目解答
答案
解析
步骤 1：计算样本均值
首先，计算样本均值 $\overline{x}$。样本均值是所有样本值的平均值。
$$
\overline{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i
$$
其中，$n$ 是样本数量，$x_i$ 是第 $i$ 个样本值。
步骤 2：计算样本标准差
计算样本标准差 $s$。样本标准差是样本值与样本均值之差的平方和的平均值的平方根。
$$
s = \sqrt{\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \overline{x})^2}
$$
步骤 3：计算置信区间
(1) 已知 $\sigma = 0.01$ 时，置信区间为：
$$
\overline{x} \pm z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}
$$
其中，$z_{\alpha/2}$ 是标准正态分布的分位数，$\alpha$ 是显著性水平，$n$ 是样本数量。
(2) $\sigma$ 未知时，置信区间为：
$$
\overline{x} \pm t_{\alpha/2, n-1} \frac{s}{\sqrt{n}}
$$
其中，$t_{\alpha/2, n-1}$ 是自由度为 $n-1$ 的 t 分布的分位数。
首先，计算样本均值 $\overline{x}$。样本均值是所有样本值的平均值。
$$
\overline{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i
$$
其中，$n$ 是样本数量，$x_i$ 是第 $i$ 个样本值。
步骤 2：计算样本标准差
计算样本标准差 $s$。样本标准差是样本值与样本均值之差的平方和的平均值的平方根。
$$
s = \sqrt{\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \overline{x})^2}
$$
步骤 3：计算置信区间
(1) 已知 $\sigma = 0.01$ 时，置信区间为：
$$
\overline{x} \pm z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}
$$
其中，$z_{\alpha/2}$ 是标准正态分布的分位数，$\alpha$ 是显著性水平，$n$ 是样本数量。
(2) $\sigma$ 未知时，置信区间为：
$$
\overline{x} \pm t_{\alpha/2, n-1} \frac{s}{\sqrt{n}}
$$
其中，$t_{\alpha/2, n-1}$ 是自由度为 $n-1$ 的 t 分布的分位数。