题目
设某垄断企业的总成本函数为 C=(1)/(3)Q^3-7Q^2+111Q+50，市场的需求函数为 Q=100-P。试求：(1) 利润最大化时的产量(2) 利润最大化时的价格(3) 利润最大化产量上的盈亏状况(4) 经济利润[1]（垄断利润）的大小。
设某垄断企业的总成本函数为 $C=\frac{1}{3}Q^{3}-7Q^{2}+111Q+50$，市场的需求函数为 $Q=100-P$。
试求：
(1) 利润最大化时的产量
(2) 利润最大化时的价格
(3) 利润最大化产量上的盈亏状况
(4) 经济利润[1]（垄断利润）的大小。
题目解答
答案
1. 根据 $ MR = MC $，即 $ 100 - 2Q = Q^2 - 14Q + 111 $，解得 $ Q = 11 $（$ Q = 1 $ 为利润最小化点，舍去）。
2. 利润最大化价格为：
\[
P = 100 - Q = 100 - 11 = 89
\]
3. 总成本 $ TC = \frac{1}{3} \times 1331 - 847 + 1221 + 50 = 867.67 $，平均成本 $ AC = \frac{867.67}{11} \approx 78.88 $。
由于 $ AR = 89 > AC \approx 78.88 $，企业盈利。
4. 经济利润为：
\[
\pi = TR - TC = 89 \times 11 - 867.67 = 979 - 867.67 = 111.33
\]
答案：
1. 利润最大化产量为 $ Q = 11 $。
2. 利润最大化价格为 $ P = 89 $。
3. 在 $ Q = 11 $ 时，$ AR > AC $，企业盈利。
4. 经济利润为 $ \pi \approx 111.33 $。