设某垄断企业的总成本函数为 C=(1)/(3)Q^3-7Q^2+111Q+50，市场的需求函数为 Q=100-P。试求：(1) 利润最大化时的产量(2) 利润最大化时的价格(3) 利润最大化产量上的盈亏状况(4) 经济利润[1]（垄断利润）的大小。

本题主要考察垄断企业利润最大化的相关知识，解题的关键在于利用边际收益（MR）等于边际成本（MC）的原则来确定利润最大化时的产量，再根据产量求出价格、盈亏状况和经济利润。具体步骤如下：

1. 求边际成本（MC）：
   已知总成本函数为$C = \frac{1}{3}Q^{3}-7Q^{2}+111Q + 50$，对总成本函数求导可得边际成本函数$MC$。
   根据求导公式$(X^n)^\prime=nX^{n - 1}$，可得：
   $MC=\frac{dC}{dQ}=\frac{d}{dQ}(\frac{1}{3}Q^{3}-7Q^{2}+111Q + 50)=Q^{2}-14Q + 111$
2. 求边际收益（MR）：
   已知市场需求函数为$Q = 100 - P$，则反需求函数为$P = 100 - Q$。
   总收益函数$TR = P\times Q=(100 - Q)Q = 100Q - Q^{2}$。
   对总收益函数求导可得边际收益函数$MR$：
   $MR=\frac{dTR}{dQ}=\frac{d}{dQ}(100Q - Q^{2})=100 - 2Q$
3. 确定利润最大化时的产量：
   根据利润最大化原则$MR = MC$，即$100 - 2Q = Q^{2}-14Q + 111$。
   移项化为一元二次方程的标准形式：$Q^{2}-12Q + 11 = 0$。
   因式分解得$(Q - 1)(Q - 11)=0$，解得$Q = 1$或$Q = 11$。
   为了判断哪个产量是利润最大化点，我们可以对利润函数求二阶导数。利润函数$\pi=TR - TC=100Q - Q^{2}-(\frac{1}{3}Q^{3}-7Q^{2}+111Q + 50)=-\frac{1}{3}Q^{3}+6Q^{2}-11Q - 50$。
   对利润函数求一阶导数$\frac{d\pi}{dQ}=-Q^{2}+12Q - 11$，再求二阶导数$\frac{d^{2}\pi}{dQ^{2}}=-2Q + 12$。
   当$Q = 1$时，$\frac{d^{2}\pi}{dQ^{2}}=-2\times1 + 12 = 10>0$，此时利润函数是凸函数，$Q = 1$为利润最小化点，舍去。
   当$Q = 11$时，$\frac{d^{2}\pi}{dQ^{2}}=-2\times11 + 12=-10<0$，此时利润函数是凹函数，$Q = 11$为利润最大化点。
4. 求利润最大化时的价格：
   将$Q = 11$代入反需求函数$P = 100 - Q$，可得：
   $P = 100 - 11 = 89$
5. 判断利润最大化产量上的盈亏状况：
   先计算总成本$TC$，将$Q = 11$代入总成本函数$C = \frac{1}{3}Q^{3}-7Q^{2}+111Q + 50$：
   $TC=\frac{1}{3}\times11^{3}-7\times11^{2}+111\times11 + 50=\frac{1331}{3}-847 + 1221 + 50$
   $TC=\frac{1331}{3}+424=\frac{1331 + 1272}{3}=\frac{2603}{3}\approx867.67$
   平均成本$AC=\frac{TC}{Q}=\frac{867.67}{11}\approx78.88$。
   平均收益$AR = P = 89$，由于$AR = 89>AC\approx78.88$，所以企业盈利。
6. 计算经济利润：
   经济利润$\pi = TR - TC$，其中$TR = P\times Q = 89\times11 = 979$，$TC\approx867.67$，则：
   $\pi = 979 - 867.67 = 111.33$