有两条梯形断面渠道1和2，已知其底坡、边坡系数、糙率和底宽相同，但流量Q1＞Q2，则其均匀流水深h1和h2。的关系为( )。A. h1＞h2B. h1＜h2C. h1=h2D. 无法确定

考查要点：本题主要考查梯形断面渠道均匀流的水深与流量的关系，需结合水力学中的曼宁公式进行分析。

解题核心思路：

1. 明确已知条件：两渠道底坡、边坡系数、糙率、底宽相同，但流量不同（Q₁ > Q₂）。
2. 关键公式：均匀流流量公式（曼宁公式）：
   $Q = \frac{1}{n} A R^{2/3} \sqrt{i}$
   其中，$A$ 为过水断面面积，$R$ 为水力半径，$n$ 为糙率，$i$ 为底坡。
3. 分析变量关系：当其他条件固定时，流量 $Q$ 由水深 $h$ 唯一决定。需推导 $Q$ 与 $h$ 的单调性关系，从而判断 $h$ 的大小。

破题关键点：

• 梯形断面几何特性：过水面积 $A = b h + m h^2$，湿周 $\chi = b + 2h\sqrt{1+m^2}$，水力半径 $R = \frac{A}{\chi}$。
• 流量与水深的单调性：通过公式推导可知，当 $h$ 增大时，$A$ 和 $R$ 均增大，导致 $Q$ 随 $h$ 单调递增。因此，流量越大，水深越大。

公式推导与分析

1. 过水面积与水力半径：

   • 过水面积：
     $A = b h + m h^2$
   • 湿周：
     $\chi = b + 2h\sqrt{1+m^2}$
   • 水力半径：
     $R = \frac{A}{\chi} = \frac{b h + m h^2}{b + 2h\sqrt{1+m^2}}$

2. 流量公式代入：
   代入曼宁公式得：
   $Q = \frac{1}{n} \cdot (b h + m h^2) \cdot \left( \frac{b h + m h^2}{b + 2h\sqrt{1+m^2}} \right)^{2/3} \cdot \sqrt{i}$
   由于 $n$、$i$、$b$、$m$ 均相同，$Q$ 仅与 $h$ 相关。

3. 单调性分析：

   • 当 $h$ 增大时，$A = b h + m h^2$ 递增。
   • 湿周 $\chi = b + 2h\sqrt{1+m^2}$ 递增，但 $A$ 的增长速度更快，导致 $R$ 递增。
   • 因此，$Q$ 随 $h$ 单调递增。

结论推导

由于 $Q_1 > Q_2$，且 $Q$ 与 $h$ 正相关，故 $h_1 > h_2$。