例 11-2 图 11-12 示三种不同支承情况的单跨梁, EI= 常数,在梁中点有一集中质量m,当-|||-不考虑梁的质量时,试比较三者的自振频率。-|||-m ②m/

步骤 1：计算静力位移
对于三种不同支承情况的单跨梁，当在梁中点有一集中质量m时，不考虑梁的质量，我们首先需要计算出三种情况下的静力位移。根据第六章的方法，可以得到：
- 对于情况 (a)：${\Delta }_{1mt}=\dfrac {mg{L}^{3}}{48El}$
- 对于情况 (b)：${\Delta }_{2m1}=\dfrac {7mg{L}^{3}}{768EL}$
- 对于情况 (c)：${\Delta }_{3nt}=\dfrac {mg{l}^{3}}{192EI}$

步骤 2：计算自振频率
根据式 (11-10) ${\omega }=\sqrt {\dfrac {{k}_{11}}{m}}$，其中 ${k}_{11}=\dfrac {mg{L}^{3}}{\Delta }$，可以分别求得三种情况的自振频率为：
- 对于情况 (a)：${\omega }_{1}=\sqrt {\dfrac {48E1}{m{l}^{3}}}$
- 对于情况 (b)：${\omega }_{2}=\sqrt {\dfrac {768El}{7m{l}^{3}}}$
- 对于情况 (c)：${\omega }_{3}=\sqrt {\dfrac {192EL}{m{l}^{3}}}$

步骤 3：比较自振频率
根据上述计算结果，可以求得三种情况的自振频率比为：
${\omega }_{1}:{\omega }_{2}:{\omega }_{3}=1:1.512:2$