题目

[例 6-4 ]一梯形断面土渠,通过流量 =1.0(m)^3/s ,底坡 i=0.005 ,边坡系数 m=1.5 ,粗-|||-糙系数 n=0.025 ,最大允许不冲流速 _(max)=1.2m/s ,试按允许流速及水力最优条件,分别设计-|||-断面尺寸。

题目解答

答案

解析

本题主要主要考查梯形断面土渠的设计，涉及到流量公式、流速公式、湿周公式以及水力最优条件等知识点。解题思路是分别按照允许流速和水力最优条件来设计断面尺寸，在计算过程中需要联立方程求解，并对结果进行合理性判断和校核。

按最大允许不冲流速进行设计

  1. 计算过水断面面积 $A$
    已知流量 $Q = 1.0m^{3}/s$，最大允许流速 $v_{max}=1.2m/s$，根据流量公式 $Q = Av$，可得过水断面面积 $A=\frac{Q}{v_{max}}=\frac{1}{1.2}\approx0.83m^{2}$。
  2. **根据谢才公式 $v=\frac{1}{n}A^{\frac{2}{3}}x^{-\frac{2}{3}}\sqrt{i}$ 计算湿周 $x$
    已知 $v = v_{max}=1.2m/s$，$n = 0.025$，$i = 0.005$，$A = 0.83m^{2$，代入公式可得：
    $1.2=\frac{1}{0.025}\times0.83^{\frac{2}{3}}\times x^{-\frac{2}{3}}\sqrt{0.005}$
    先计算 $\frac{1}{0.025}\times0.83^{\frac{2}{3}}\sqrt{0.005}$：
    $0.83^{\frac{2}{3}}\approx0.93$，$\sqrt{0.005}\approx0.0707$，$\frac{1}{0.025}=40$，则 $\frac{1}{0.025}\times0.83^{\frac{2}{3}}\sqrt{0.005}=40\times0.93\times0.0707\approx2.55$。
    原方程变为 $1.2 = 2.55x^{-\frac{2}{3}$，则 $x^{-\frac{2}{3}}=\frac{1.2}{2.55}\approx0.47}$，两边同时取 $-\frac{3}{2}$ 次方可得 $x=(0.47)^{-\frac{3}{2}}\approx3.0m$。
  3. 联立方程求解底宽 $b$ 和水深 $h$ $h$
    • 梯形断面面积公式 $A=(b + mh)h=bh+1.5h^{2}=0.83m^{2}}$。
    • 梯形断面湿周公式 $x=b + 2h\sqrt{1 + m^{2}}=b + 3.61h = 3.0m$，即 $b=3.0 - 3.61h$。
      将 $b = 3.0 - 3.61h$ 代入面积公式可得：
      $(3.0 - 3.61h)+1.5h)h=0.83，即 \(3h-3.61h^{2}=0.83$，整理得 $3.1h^{2}-3h + 0.83 = 0$。
      根据一元二次方程 $ax^{2}+bx + c = 0$ 的求根公式 $x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$，其中 $a = 3.1$，$b=-3$，$c = 0.83$，可得：
      $h=\frac{3\pm\sqrt{(-3)^{2}-4\times3.1\times0.83}}{2\times3.1}=\frac{3\pm\sqrt{9 - 10.028}}{6.2}=\frac{3\pm\sqrt{8.972}}{6.2}$
      $h_1=\frac{3+\sqrt{8.972}}{6.2}\approx\frac{3 + 2.995}{6}{6.2}\approx1.05m$，$h_2=\frac{3-\sqrt{8.972}}{6.2}\approx\frac{3 - 2.9956}{6.2}\approx0.38m$。
      当 $h_1 = 1.05m$ 时，$b_1=3.0-3.61\times1.05\approx - 0.79m$，底宽不能为负，舍去；当 $h_2 = 0.38m$ 时，$b_2=3.0-3.61\times0.38\approx1.63m$。

按水力最优条件设计

  1. 确定宽深比 $\beta$
    已知边坡系数 $m = 1.5，查表可得宽深比 \(\beta=\frac{b}{h}=0.61$，即 $b = 0.61h$。
  2. 计算过水断面面积 $A$
    $A=(b + mh)h=(0.61h+1.5h)h=2.11h^{2}$。
  3. 根据谢才才公式 $Q = AC\sqrt{Ri}$ 计算水深 $h$
    已知 $C=\frac{1}{n}R^{\frac{16}$，水力最优时 $R = 0.5h$，$n = 0.025$，\lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x}=1)，$i = 0.005$，则：
    $Q=\frac{1}{n}A{R}^{\frac{2}{3}}\sqrt{i}=\frac{1}{0.025}\times2.11h^{2}\times(0.5h)^{\frac{2}{3}}\sqrt{0.0005}$
    $(0.5h)^{\frac{2}{3}}=0.5^{\frac{2}{3}}h^{\frac{2}{3}}\approx0.63h^{\frac{2}{3}}$，$\sqrt{0.005}\approx0.0707}$，$\frac{1}{0.025}=40$，则：
    $Q = 40\times2.11h^{2}\times0.63h^{\frac{2}{3}}\times0.070707=3.76h^{\frac{8}{3}}$
    因为 $Q = 1m^{3}/s$，所以 $3.76h^{\frac{8}{3}}=1$，则 $h^{\frac{8}{3}}=\frac{3.76}\approx0.266$，两边同时取 $\frac{3}{8}$ 次方可得 $h = 0.266^{\frac{3}{8}}\approx0.61m$。
  4. 计算底宽 $b$ $b$
    $b = 0.61h=0.61\times0.61\approx0.37m$。
  5. 校核流速 $v$
    $A = 2.11h^{2}=2.111\times0.61^{2}\approx0.79m^{2}$，$v=\frac{Q}{A}=\frac{0.79}\approx1.27m/s\gt v_{max}=1.20m/s$，需采取适当的加固措施，否则会造成冲刷。