题目
如图所示刚架,B E为铰接点,不计各杆重力 ,F=20 kN,q=3 kN/m,求固定端A和D支座的约束反力。2m 2m 2m 2m-|||-F q-|||-A B E C-|||-3m-|||-D
如图所示刚架,B E为铰接点,不计各杆重力 ,F=20 kN,q=3 kN/m,求固定端A和D支座的约束反力。
题目解答
答案
对整个刚架进行受力分析：
1. 先计算均布荷载q产生的合力，大小为Q = 3×6 = 18kN，作用在BC段的中点。
2. F为已知的集中力。
3. B、E为铰接点，B点的约束力方向未知，可分解为水平和竖直方向；E点只有竖直方向的约束力。
4. A为固定端，有水平、竖直方向的约束力和一个约束力偶；D为支座，有水平和竖直方向的约束力。
以整体为研究对象，列平衡方程：
1. 水平方向：
，可求出A处水平约束力和D处水平约束力的关系。
2. 竖直方向：
，可求出A处竖直约束力、D处竖直约束力与已知外力的关系。
3. 对A点取矩：
，可求出A处的约束力偶。
答案：
首先计算均布荷载的合力Q = 18 kN，作用在BC段的中点。
对整体列平衡方程：
水平方向：
竖直方向：
对A点取矩：
解得：
假设
，则
，
所以，A处的约束力为水平方向20kN，竖直方向28kN，约束力偶-114kN·m；D处的约束力为水平方向20 kN，竖直方向10 kN.
解析
步骤 1：计算均布荷载q产生的合力
均布荷载q产生的合力Q = q * L，其中L为均布荷载作用的长度。在本题中，q = 3 kN/m，L = 6 m（BC段的长度），因此Q = 3 * 6 = 18 kN。合力Q作用在BC段的中点，即距离B点3 m处。
步骤 2：确定各支座的约束力
A为固定端，有水平、竖直方向的约束力和一个约束力偶，分别记为${A}_{x}$、${A}_{y}$和${M}_{A}$。D为支座，有水平和竖直方向的约束力，分别记为${D}_{x}$和${D}_{y}$。B、E为铰接点，B点的约束力方向未知，可分解为水平和竖直方向，分别记为${B}_{x}$和${B}_{y}$；E点只有竖直方向的约束力，记为${E}_{y}$。
步骤 3：列平衡方程
对整体刚架进行受力分析，列平衡方程：
1. 水平方向：$\sum {F}_{x}=0$，即${A}_{x}+{D}_{x}-{B}_{x}=0$。
2. 竖直方向：$\sum {F}_{y}=0$，即${A}_{y}+{D}_{y}-{B}_{y}-{E}_{y}-F-Q=0$。
3. 对A点取矩：$\sum {M}_{A}=0$，即${M}_{A}+{B}_{y}\times 2+{E}_{y}\times 5+{D}_{y}\times 6-F\times 4-Q\times 3=0$。
步骤 4：求解约束力
由于B、E为铰接点，B点的约束力${B}_{x}$和${B}_{y}$，E点的约束力${E}_{y}$，以及D点的约束力${D}_{x}$和${D}_{y}$，需要通过进一步的分析来确定。但是，根据题目要求，我们只需要求出固定端A和D支座的约束反力。因此，我们可以通过整体平衡方程直接求解${A}_{x}$、${A}_{y}$、${M}_{A}$和${D}_{x}$、${D}_{y}$。
均布荷载q产生的合力Q = q * L，其中L为均布荷载作用的长度。在本题中，q = 3 kN/m，L = 6 m（BC段的长度），因此Q = 3 * 6 = 18 kN。合力Q作用在BC段的中点，即距离B点3 m处。
步骤 2：确定各支座的约束力
A为固定端，有水平、竖直方向的约束力和一个约束力偶，分别记为${A}_{x}$、${A}_{y}$和${M}_{A}$。D为支座，有水平和竖直方向的约束力，分别记为${D}_{x}$和${D}_{y}$。B、E为铰接点，B点的约束力方向未知，可分解为水平和竖直方向，分别记为${B}_{x}$和${B}_{y}$；E点只有竖直方向的约束力，记为${E}_{y}$。
步骤 3：列平衡方程
对整体刚架进行受力分析，列平衡方程：
1. 水平方向：$\sum {F}_{x}=0$，即${A}_{x}+{D}_{x}-{B}_{x}=0$。
2. 竖直方向：$\sum {F}_{y}=0$，即${A}_{y}+{D}_{y}-{B}_{y}-{E}_{y}-F-Q=0$。
3. 对A点取矩：$\sum {M}_{A}=0$，即${M}_{A}+{B}_{y}\times 2+{E}_{y}\times 5+{D}_{y}\times 6-F\times 4-Q\times 3=0$。
步骤 4：求解约束力
由于B、E为铰接点，B点的约束力${B}_{x}$和${B}_{y}$，E点的约束力${E}_{y}$，以及D点的约束力${D}_{x}$和${D}_{y}$，需要通过进一步的分析来确定。但是，根据题目要求，我们只需要求出固定端A和D支座的约束反力。因此，我们可以通过整体平衡方程直接求解${A}_{x}$、${A}_{y}$、${M}_{A}$和${D}_{x}$、${D}_{y}$。