题目
有关函数f(x,y)= dfrac (xy)(sqrt {{x)^2+(y)^2}},(x)^2+(y)^2neq 0-|||-)在点（0，0）的性态，下列说法正确的有（）个.(1)由于f(x,y)= dfrac (xy)(sqrt {{x)^2+(y)^2}},(x)^2+(y)^2neq 0-|||-)（当f(x,y)= dfrac (xy)(sqrt {{x)^2+(y)^2}},(x)^2+(y)^2neq 0-|||-)时），所以由夹逼准则知f(x,y)= dfrac (xy)(sqrt {{x)^2+(y)^2}},(x)^2+(y)^2neq 0-|||-)，从而有f(x,y)= dfrac (xy)(sqrt {{x)^2+(y)^2}},(x)^2+(y)^2neq 0-|||-)；(2)由于f(x,y)= dfrac (xy)(sqrt {{x)^2+(y)^2}},(x)^2+(y)^2neq 0-|||-)，所以连续；(3) f(x,y)= dfrac (xy)(sqrt {{x)^2+(y)^2}},(x)^2+(y)^2neq 0-|||-),f(x,y)= dfrac (xy)(sqrt {{x)^2+(y)^2}},(x)^2+(y)^2neq 0-|||-),所以偏导数存在A.0个B.1个C.2个D.3个
有关函数
在点（0，0）的性态，下列说法正确的有（）个.
(1)由于
（当
时），所以由夹逼准则知
，从而有
；
(2)由于
，所以连续；
(3) 
,
,所以偏导数存在
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
题目解答
答案
(1)∵
（当时）
∴由夹逼准则知
∴利用极限的定义可知
该说法正确.
(2)∵
∴根据多元函数连续性定义判断，可知函数在此点连续
说法正确
(3) ∵又∵两个极限存在
∴函数偏导数存在
说法正确
综上所述，说法都正确，正确选项为D.
解析
步骤 1：验证极限存在性
根据题目中给出的函数$f(x,y)=\left \{ \begin{matrix} \dfrac {xy}{\sqrt {{x}^{2}+{y}^{2}}},{x}^{2}+{y}^{2}\neq 0\\ 0,{x}^{2}+{y}^{2}=0\end{matrix} \right.$，我们首先验证当$(x,y)\rightarrow (0,0)$时，函数的极限是否存在。
由于$0\leqslant |\dfrac {xy}{\sqrt {{x}^{2}+{y}^{2}}}|\leqslant \dfrac {\sqrt {|xy|}}{\sqrt {2}}\rightarrow 0$（当$c\rightarrow 0,y\rightarrow 0$时），由夹逼准则知$\lim _{x\rightarrow 0}y|\dfrac {xy}{\sqrt {{x}^{2}+{y}^{2}}}|=0$，从而有$\lim _{x\rightarrow 0}y=\dfrac {xy}{\sqrt {{x}^{2}+{y}^{2}}}=0$。因此，极限存在且等于0，即$\lim _{x\rightarrow 0}y=\dfrac {xy}{\sqrt {{x}^{2}+{y}^{2}}}=0=f(0,0)$，所以函数在点（0，0）处连续。
步骤 2：验证偏导数存在性
接下来，我们验证函数在点（0，0）处的偏导数是否存在。
$\dfrac {\partial f}{\partial x}|(0,0)=\lim _{\Delta x\rightarrow 0}\dfrac {f(0+\Delta x)0)-f(0,0)}{\Delta x}=0$，
$\dfrac {\partial f}{\partial y}|(0,0)=\lim _{\Delta y+0}\dfrac {f(0,0+\Delta y)-f(0,0)}{\Delta y}=0$.
由于两个极限都存在，所以函数在点（0，0）处的偏导数存在。
根据题目中给出的函数$f(x,y)=\left \{ \begin{matrix} \dfrac {xy}{\sqrt {{x}^{2}+{y}^{2}}},{x}^{2}+{y}^{2}\neq 0\\ 0,{x}^{2}+{y}^{2}=0\end{matrix} \right.$，我们首先验证当$(x,y)\rightarrow (0,0)$时，函数的极限是否存在。
由于$0\leqslant |\dfrac {xy}{\sqrt {{x}^{2}+{y}^{2}}}|\leqslant \dfrac {\sqrt {|xy|}}{\sqrt {2}}\rightarrow 0$（当$c\rightarrow 0,y\rightarrow 0$时），由夹逼准则知$\lim _{x\rightarrow 0}y|\dfrac {xy}{\sqrt {{x}^{2}+{y}^{2}}}|=0$，从而有$\lim _{x\rightarrow 0}y=\dfrac {xy}{\sqrt {{x}^{2}+{y}^{2}}}=0$。因此，极限存在且等于0，即$\lim _{x\rightarrow 0}y=\dfrac {xy}{\sqrt {{x}^{2}+{y}^{2}}}=0=f(0,0)$，所以函数在点（0，0）处连续。
步骤 2：验证偏导数存在性
接下来，我们验证函数在点（0，0）处的偏导数是否存在。
$\dfrac {\partial f}{\partial x}|(0,0)=\lim _{\Delta x\rightarrow 0}\dfrac {f(0+\Delta x)0)-f(0,0)}{\Delta x}=0$，
$\dfrac {\partial f}{\partial y}|(0,0)=\lim _{\Delta y+0}\dfrac {f(0,0+\Delta y)-f(0,0)}{\Delta y}=0$.
由于两个极限都存在，所以函数在点（0，0）处的偏导数存在。