题目
已知边际成本为C' (x)=30+4 x,边际收益为R' (x)=60-2 x,则最大利润(设固定成本为0,R(0)=0)为()。A. 100B. 75C. 50D. 25
已知边际成本为C' (x)=30+4 x,边际收益为R' (x)=60-2 x,则最大利润(设固定成本为0,R(0)=0)为()。
A. 100
B. 75
C. 50
D. 25
题目解答
答案
B. 75
解析
步骤 1：确定利润函数
利润函数P(x)定义为总收益函数R(x)减去总成本函数C(x)。即P(x) = R(x) - C(x)。为了找到最大利润，我们需要首先确定R(x)和C(x)。
步骤 2：计算总收益函数R(x)
总收益函数R(x)是边际收益函数R'(x)的积分。即R(x) = ∫R'(x)dx。给定R'(x) = 60 - 2x，我们有R(x) = ∫(60 - 2x)dx = 60x - x^2 + C。由于R(0) = 0，我们得到C = 0，因此R(x) = 60x - x^2。
步骤 3：计算总成本函数C(x)
总成本函数C(x)是边际成本函数C'(x)的积分。即C(x) = ∫C'(x)dx。给定C'(x) = 30 + 4x，我们有C(x) = ∫(30 + 4x)dx = 30x + 2x^2 + D。由于固定成本为0，我们得到D = 0，因此C(x) = 30x + 2x^2。
步骤 4：确定利润函数P(x)
根据步骤2和步骤3，我们有P(x) = R(x) - C(x) = (60x - x^2) - (30x + 2x^2) = 30x - 3x^2。
步骤 5：找到利润函数P(x)的最大值
为了找到利润函数P(x)的最大值，我们需要找到P'(x) = 0的点。即P'(x) = 30 - 6x = 0，解得x = 5。为了验证x = 5是最大值点，我们计算P''(x) = -6 < 0，因此x = 5是最大值点。
步骤 6：计算最大利润
将x = 5代入P(x) = 30x - 3x^2，我们得到P(5) = 30 * 5 - 3 * 5^2 = 150 - 75 = 75。
利润函数P(x)定义为总收益函数R(x)减去总成本函数C(x)。即P(x) = R(x) - C(x)。为了找到最大利润，我们需要首先确定R(x)和C(x)。
步骤 2：计算总收益函数R(x)
总收益函数R(x)是边际收益函数R'(x)的积分。即R(x) = ∫R'(x)dx。给定R'(x) = 60 - 2x，我们有R(x) = ∫(60 - 2x)dx = 60x - x^2 + C。由于R(0) = 0，我们得到C = 0，因此R(x) = 60x - x^2。
步骤 3：计算总成本函数C(x)
总成本函数C(x)是边际成本函数C'(x)的积分。即C(x) = ∫C'(x)dx。给定C'(x) = 30 + 4x，我们有C(x) = ∫(30 + 4x)dx = 30x + 2x^2 + D。由于固定成本为0，我们得到D = 0，因此C(x) = 30x + 2x^2。
步骤 4：确定利润函数P(x)
根据步骤2和步骤3，我们有P(x) = R(x) - C(x) = (60x - x^2) - (30x + 2x^2) = 30x - 3x^2。
步骤 5：找到利润函数P(x)的最大值
为了找到利润函数P(x)的最大值，我们需要找到P'(x) = 0的点。即P'(x) = 30 - 6x = 0，解得x = 5。为了验证x = 5是最大值点，我们计算P''(x) = -6 < 0，因此x = 5是最大值点。
步骤 6：计算最大利润
将x = 5代入P(x) = 30x - 3x^2，我们得到P(5) = 30 * 5 - 3 * 5^2 = 150 - 75 = 75。