计算题某级公路相邻两段纵坡 i_1=5%，i_2=-6%，变坡点里程为 K1+100，变坡点高程为 200.53 米，该竖曲线半径选定为 1000 米。(1) 计算竖曲线要素。(2) 计算 K1+120 桩号的设计高程。(3) 如果要求切线长大于 100 米，则竖曲线半径应如何确定？

本题考查竖曲线要素计算及设计高程确定，涉及以下核心知识点：

1. 竖曲线要素：切线长$T$、曲线长$L$、外距$E$，需通过坡度变化角$\omega$和竖曲线半径$R$计算；
2. 设计高程计算：结合切线法与竖曲线方程，需明确变坡点高程与纵坡的关系；
3. 切线长与竖曲线半径的关系：通过不等式推导满足条件的$R$范围。

破题关键：正确计算坡度变化角$\omega$，熟练应用竖曲线公式，注意单位一致性。

第（1）题：计算竖曲线要素

计算坡度变化角$\omega$

相邻纵坡代数差：
$\omega = |i_2 - i_1| = |-6\% - 5\%| = 11\% = 0.11$

计算切线长$T$

$T = \frac{R \omega}{2} = \frac{1000 \times 0.11}{2} = 55 \, \text{米}$

计算曲线长$L$

$L = 2T = 2 \times 55 = 110 \, \text{米}$

计算外距$E$

$E = \frac{T^2}{2R} = \frac{55^2}{2 \times 1000} = 1.5125 \, \text{米}$

第（2）题：计算K1+120的设计高程

确定水平距离$x$

变坡点里程为K1+100，K1+120距离变坡点：
$x = 120 - 100 = 20 \, \text{米}$

计算切线高程

沿前段纵坡$i_1=5\%$推算：
$h_{\text{切线}} = 200.53 + i_1 \cdot x = 200.53 + 0.05 \times 20 = 201.53 \, \text{米}$

计算竖曲线高差$y$

$y = \frac{x^2}{2R} = \frac{20^2}{2 \times 1000} = 0.2 \, \text{米}$

确定设计高程

$h_{\text{设计}} = h_{\text{切线}} + y = 201.53 + 0.2 = 201.73 \, \text{米}$

第（3）题：确定竖曲线半径$R$

建立不等式

切线长需满足$T > 100 \, \text{米}$：
$\frac{R \omega}{2} > 100$

解不等式

代入$\omega = 0.11$：
$R > \frac{100 \times 2}{0.11} \approx 1818.18 \, \text{米}$