题目
面心立方晶格中，晶胞的原子数为________，原子半径与晶格常数的关系为________，致密度为________。
面心立方晶格中，晶胞的原子数为________，原子半径与晶格常数的关系为________，致密度为________。
题目解答
答案
4、 、0.74
解析
步骤 1：确定晶胞的原子数
面心立方晶格中，每个晶胞包含8个顶点原子和6个面心原子。每个顶点原子被8个晶胞共享，每个面心原子被2个晶胞共享。因此，每个晶胞的原子数为：8个顶点原子的1/8加上6个面心原子的1/2，即\(8 \times \frac{1}{8} + 6 \times \frac{1}{2} = 1 + 3 = 4\)个原子。
步骤 2：确定原子半径与晶格常数的关系
在面心立方晶格中，晶胞的对角线长度等于4倍的原子半径（因为对角线穿过两个原子的中心）。晶胞的边长为a，对角线长度为\(a\sqrt{3}\)（根据立方体对角线的计算公式）。因此，\(a\sqrt{3} = 4r\)，从而得到原子半径与晶格常数的关系为\(r = \frac{a\sqrt{3}}{4}\)。
步骤 3：计算致密度
致密度是指晶胞中被原子占据的空间与晶胞总体积的比值。面心立方晶格中，每个晶胞的体积为\(a^3\)，每个原子的体积为\(\frac{4}{3}\pi r^3\)，晶胞中4个原子的总体积为\(4 \times \frac{4}{3}\pi r^3\)。将\(r = \frac{a\sqrt{3}}{4}\)代入，得到致密度为\(\frac{4 \times \frac{4}{3}\pi (\frac{a\sqrt{3}}{4})^3}{a^3} = \frac{\pi \sqrt{3}}{8} \approx 0.74\)。
面心立方晶格中，每个晶胞包含8个顶点原子和6个面心原子。每个顶点原子被8个晶胞共享，每个面心原子被2个晶胞共享。因此，每个晶胞的原子数为：8个顶点原子的1/8加上6个面心原子的1/2，即\(8 \times \frac{1}{8} + 6 \times \frac{1}{2} = 1 + 3 = 4\)个原子。
步骤 2：确定原子半径与晶格常数的关系
在面心立方晶格中，晶胞的对角线长度等于4倍的原子半径（因为对角线穿过两个原子的中心）。晶胞的边长为a，对角线长度为\(a\sqrt{3}\)（根据立方体对角线的计算公式）。因此，\(a\sqrt{3} = 4r\)，从而得到原子半径与晶格常数的关系为\(r = \frac{a\sqrt{3}}{4}\)。
步骤 3：计算致密度
致密度是指晶胞中被原子占据的空间与晶胞总体积的比值。面心立方晶格中，每个晶胞的体积为\(a^3\)，每个原子的体积为\(\frac{4}{3}\pi r^3\)，晶胞中4个原子的总体积为\(4 \times \frac{4}{3}\pi r^3\)。将\(r = \frac{a\sqrt{3}}{4}\)代入，得到致密度为\(\frac{4 \times \frac{4}{3}\pi (\frac{a\sqrt{3}}{4})^3}{a^3} = \frac{\pi \sqrt{3}}{8} \approx 0.74\)。