题目
1748年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写下公式overrightarrow (O)=cos theta +isin theta ，这个公式在复变函数中有非常重要的地位，即著名的“欧拉公式”，被誉为“数学中的天桥”，据欧拉公式，则下列选项不正确的是( )A．overrightarrow (O)=cos theta +isin theta B．overrightarrow (O)=cos theta +isin theta C．overrightarrow (O)=cos theta +isin theta D．overrightarrow (O)=cos theta +isin theta
1748年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写下公式
，这个公式在复变函数中有非常重要的地位，即著名的“欧拉公式”，被誉为“数学中的天桥”，据欧拉公式，则下列选项不正确的是( )
，这个公式在复变函数中有非常重要的地位，即著名的“欧拉公式”，被誉为“数学中的天桥”，据欧拉公式，则下列选项不正确的是( )A． | B． | C． | D． |
题目解答
答案
解析
步骤 1：理解欧拉公式
欧拉公式是复数分析中的一个基本公式，它建立了复指数函数和三角函数之间的关系。公式为：$e^{i\theta} = \cos \theta + i\sin \theta$。其中，$e$是自然对数的底，$i$是虚数单位，$\theta$是实数。
步骤 2：分析选项
A. 选项A中的表达式没有给出完整的数学表达式，无法判断其正确性。
B. 选项B中的表达式$e^{\pi/4}$是复数$e^{i\pi/4}$的模，根据欧拉公式，$e^{i\pi/4} = \cos(\pi/4) + i\sin(\pi/4)$，所以$e^{\pi/4}$是正确的。
C. 选项C中的表达式${(\dfrac {1-\sqrt {3}i}{2})}^{3}=1$，首先计算括号内的复数，$\dfrac {1-\sqrt {3}i}{2}$是复数$e^{-i\pi/3}$的表示形式，因为$e^{-i\pi/3} = \cos(-\pi/3) + i\sin(-\pi/3) = \dfrac{1}{2} - i\dfrac{\sqrt{3}}{2}$。所以${(\dfrac {1-\sqrt {3}i}{2})}^{3} = (e^{-i\pi/3})^3 = e^{-i\pi} = \cos(-\pi) + i\sin(-\pi) = -1$，所以选项C不正确。
D. 选项D中的表达式$\cos \dfrac {\pi }{4}=\dfrac {e\dfrac {e\dfrac {\pi }{4}+e\dfrac {\pi }{4}}{2}$，根据欧拉公式，$\cos \dfrac {\pi }{4} = \dfrac{e^{i\pi/4} + e^{-i\pi/4}}{2}$，所以选项D是正确的。
欧拉公式是复数分析中的一个基本公式，它建立了复指数函数和三角函数之间的关系。公式为：$e^{i\theta} = \cos \theta + i\sin \theta$。其中，$e$是自然对数的底，$i$是虚数单位，$\theta$是实数。
步骤 2：分析选项
A. 选项A中的表达式没有给出完整的数学表达式，无法判断其正确性。
B. 选项B中的表达式$e^{\pi/4}$是复数$e^{i\pi/4}$的模，根据欧拉公式，$e^{i\pi/4} = \cos(\pi/4) + i\sin(\pi/4)$，所以$e^{\pi/4}$是正确的。
C. 选项C中的表达式${(\dfrac {1-\sqrt {3}i}{2})}^{3}=1$，首先计算括号内的复数，$\dfrac {1-\sqrt {3}i}{2}$是复数$e^{-i\pi/3}$的表示形式，因为$e^{-i\pi/3} = \cos(-\pi/3) + i\sin(-\pi/3) = \dfrac{1}{2} - i\dfrac{\sqrt{3}}{2}$。所以${(\dfrac {1-\sqrt {3}i}{2})}^{3} = (e^{-i\pi/3})^3 = e^{-i\pi} = \cos(-\pi) + i\sin(-\pi) = -1$，所以选项C不正确。
D. 选项D中的表达式$\cos \dfrac {\pi }{4}=\dfrac {e\dfrac {e\dfrac {\pi }{4}+e\dfrac {\pi }{4}}{2}$，根据欧拉公式，$\cos \dfrac {\pi }{4} = \dfrac{e^{i\pi/4} + e^{-i\pi/4}}{2}$，所以选项D是正确的。