6.简答题-|||-设国际市场上A种产品的需求量均匀分布在 sim 4000t 之间,B种产品需求量均匀分布-|||-在 sim 4000t 之间,并且两种产品的需求量是相互独立的.试求这两种产品的需求量相差-|||-不超过1000t的概率.
题目解答
答案
解析
本题考查二维均匀分布的概率计算，关键是通过设定随机变量、确定联合分布、画出样本空间和事件区域，再计算面积比得到概率。
步骤1：设定随机变量与分布
设A、B两种产品的需求量分别为随机变量$X$和$Y$，根据题意：
- $X \sim U[2000,4000]$（均匀分布，区间长度$2000$），概率密度$f_X(x)=\frac{1}{2000}$（$2000\leq x\leq\leq4000$）；
- $Y \sim U[3000,4000]$（均匀分布，区间长度$10000$），概率密度$f_Y(y)=\frac{1}{1000}$（$3000\leq y\leq4000$；
- $X$与$Y$独立，故联合概率密度$f(x,y)=f_X(x)f_Y(y)=\frac{1}{2000\times1000}=\frac{1{2\times10^6}$（二维均匀分布）。
步骤2：事件定义
求“需求量相差不超过1000t”的概率，即$P(|X-Y|\leq1000)$，等价于：
$P(-1=P(3000\leq X\leq4000, 3000\leq Y\leq4000, |X-Y|\leq1000)\quad (\text{当}X\in[3000,4000])$
$P2=P(2000\leq X\leq3000, 3000\leq Y\leq4000, |X-Y|\leq1000)\quad (\text{当}X\in[2000,3000])$
步骤3：计算$P1$
当$X\in[3000,4000]$时，$Y\in[3000,4000]$，$|X-Y|\leq1000$恒成立（因$X-Y\leq1000$且\X-Y\geq-1000)，\X\geq Y-1000\geq3000-1000=2000)，而\X\geq3000)，故\X\geq Y-1000)自动满足），区域面积为$1000\times1000=10^6$，概率$P1=\frac{10^6}{2\times10^6}=\frac12$。
步骤4：计算$P2$
当$X\in[2000,3000]$时，$Y\in[3000,4000]$，$|X-Y|\leq1000\Rightarrow Y\Y\leq X+1000$（\Y\geq X-1000)自动满足，因\Y\geq3000\geq X-1000\geq2000-1000=1000)）。
区域为$X\in[2000,3000], Y\in[3000,X+1000]$，是梯形：上底$1000$（\X=3000)时\Y\in[3000,4000])），下底$0$（\X=2000)时\Y\in[3000,3000])），高$1000$，面积$\frac{(0+1000)\times1000}2=5\times10^5$，概率$P2=\frac{5\times10^5}{}{}{2\times10^6}=\frac14$。
步骤5：总概率
$P=P1+P2=\frac12+\frac14=\frac34$。