设X1，X2，X3，X4为来自总体N（1，σ2）（σ＞0）的简单随机样本，则统计量 X1−X2 |X3+X4−2| 的分布为（） A. N（0，1） B. t（1） C. x2（1） D. F（1，1）

考查要点：本题主要考查统计量的分布构造，涉及正态分布、卡方分布、t分布的性质及相互独立随机变量的组合规律。

解题核心思路：

1. 分解统计量：将分子和分母分别标准化，转化为标准正态分布和卡方分布的形式。
2. 独立性判断：确认分子与分母对应的随机变量相互独立。
3. 构造t分布：利用标准正态分布与卡方分布的组合构造t分布。

破题关键点：

• 分子标准化：$X_1 - X_2$服从正态分布，标准化后为标准正态变量。
• 分母构造：$|X_3 + X_4 - 2|$可转化为卡方分布的平方根形式。
• 独立性：分子与分母对应的变量来自不同样本，相互独立。

分解分子与分母

1. 分子部分：
   $X_1 - X_2$的期望为$0$，方差为$2\sigma^2$，标准化后为：
   $Z_1 = \frac{X_1 - X_2}{\sqrt{2}\sigma} \sim N(0,1)$

2. 分母部分：
   $X_3 + X_4 - 2$的期望为$0$，方差为$2\sigma^2$，标准化后为：
   $Z_2 = \frac{X_3 + X_4 - 2}{\sqrt{2}\sigma} \sim N(0,1)$
   因此，分母可表示为：
   $|X_3 + X_4 - 2| = \sqrt{2}\sigma |Z_2|$

构造统计量

原统计量可化简为：
$\frac{X_1 - X_2}{|X_3 + X_4 - 2|} = \frac{\sqrt{2}\sigma Z_1}{\sqrt{2}\sigma |Z_2|} = \frac{Z_1}{|Z_2|}$

分布推导

• 分子$Z_1$和分母$|Z_2|$对应的变量独立。
• $|Z_2|$的平方$Z_2^2 \sim \chi^2(1)$，因此分母可表示为$\sqrt{\chi^2(1)}$。
• 统计量符合$t$分布的定义：
  $t = \frac{Z_1}{\sqrt{\chi^2(1)/1}} \sim t(1)$