六、用位移法计算图示刚架(利用对称性),并绘出弯矩图。各杆EI相同且为常数。(10分)

考查要点：本题主要考查位移法在对称结构中的应用，以及利用对称性简化计算的能力。
解题核心思路：

1. 识别对称结构与对称荷载：确定结构形式和荷载分布是否满足对称性条件。
2. 简化计算模型：利用对称性取半结构分析，减少未知数数量。
3. 建立位移法方程：通过刚度矩阵法或逐步法求解关键位移，进而计算内力。
   破题关键点：

• 正确处理对称轴处的约束：需添加刚臂或链杆模拟原结构的变形约束。
• 弯矩图的对称性：简化后的半结构弯矩图需镜像到另一半结构。

步骤1：确定对称性简化后的半结构

原刚架为对称结构，荷载对称，取右侧半结构分析（如下图）。对称轴处节点A需添加刚臂防止非对称变形，节点B处保持自由。

步骤2：选择位移未知数

仅需考虑节点A的转角$\theta_A$（对称条件下，半结构中节点B的转角与$\theta_A$相等）。

步骤3：建立位移法方程

刚度系数计算

各杆件的刚度系数为：
$k_{AA} = 4EI/l \quad (\text{杆AB和杆AC共同作用})$

荷载列阵计算

荷载引起的转角位移为：
$R_A = -\frac{3ql^2}{8}$

方程求解

$k_{AA} \theta_A + R_A = 0 \implies \theta_A = -\frac{R_A}{k_{AA}} = \frac{3ql^3}{32EI}$

步骤4：计算杆端弯矩

• 杆AB：
  $M_{AB} = -k_{AA} \theta_A = -\frac{3EI}{l} \cdot \frac{3ql^3}{32EI} = -\frac{9ql^2}{32}$
• 杆AC：
  $M_{AC} = k_{AA} \theta_A = \frac{9ql^2}{32}$

步骤5：绘制弯矩图

半结构弯矩图对称镜像到左侧，最终弯矩图如下：