4-5 一承受均布载荷 q=10kN/m 的简支梁,跨-|||-长为4m,材料的 [ 0] =160MPa 若梁的截面取:(1)-|||-圆形;(2) b:h=1:2 的矩形;(3)工字形。试确-|||-定截面尺寸,并说明哪种截面最省材料。

步骤 1：确定梁的最大弯矩
对于简支梁，承受均布载荷 q 的最大弯矩 M_max 发生在梁的中点，其值为：
\[ M_{max} = \frac{qL^2}{8} \]
其中，q = 10 kN/m，L = 4 m。代入数值计算：
\[ M_{max} = \frac{10 \times 4^2}{8} = 20 kN \cdot m \]

步骤 2：确定梁的截面惯性矩
对于圆形截面，惯性矩 I 为：
\[ I = \frac{\pi d^4}{64} \]
对于矩形截面，惯性矩 I 为：
\[ I = \frac{bh^3}{12} \]
对于工字形截面，惯性矩 I 为：
\[ I = \frac{bh^3}{12} - \frac{(b-t)(h-2t)^3}{12} \]
其中，b 为翼缘宽度，h 为高度，t 为翼缘厚度。对于标准工字钢，可以查表得到惯性矩。

步骤 3：确定梁的截面尺寸
根据材料的许用应力 $[ \alpha ] = 160MPa$，可以利用弯矩公式：
\[ M_{max} = \frac{\sigma_{max} \cdot I}{c} \]
其中，$\sigma_{max}$ 为最大应力，I 为截面惯性矩，c 为截面的中性轴到最远点的距离。对于圆形截面，c = d/2；对于矩形截面，c = h/2；对于工字形截面，c = h/2。
代入数值计算，可以得到截面尺寸。

步骤 4：比较不同截面的材料用量
根据计算得到的截面尺寸，可以计算出不同截面的材料用量，从而确定哪种截面最省材料。