生产一定数量商品的全部费用称为生产成本,它可以表示为商品数量的函数,现知一企业生产某种商品的数量为x件时的成本函数为c(x)=20+2x+1/2x^2(万元),若集出一件商品收入是20万元,那么该企业为获取最大利润,应生产这种商品的数量为 ( )A. 18件B. 36件C. 22件D. 9件

考查要点：本题主要考查利润最大化的优化问题，涉及二次函数的顶点应用或导数求极值的方法。

解题核心思路：

1. 利润公式：利润 = 总收入 - 总成本。
2. 构建利润函数：根据题目给出的成本函数和收入单价，写出利润函数表达式。
3. 求最大值点：通过二次函数顶点公式或导数法，找到利润函数的最大值对应的生产数量。

破题关键点：

• 正确建立利润函数，注意符号和系数的准确性。
• 识别二次函数开口方向（由二次项系数为负，确定存在最大值）。
• 应用顶点公式或导数法，准确计算极值点。

步骤1：建立利润函数
总收入为 $20x$ 万元，总成本为 $C(x) = 20 + 2x + \frac{1}{2}x^2$ 万元，因此利润函数为：
$P(x) = 20x - \left(20 + 2x + \frac{1}{2}x^2\right) = -\frac{1}{2}x^2 + 18x - 20$

步骤2：确定最大值点
利润函数为开口向下的二次函数，其最大值出现在顶点处。顶点横坐标公式为：
$x = -\frac{b}{2a}$
其中 $a = -\frac{1}{2}$，$b = 18$，代入得：
$x = -\frac{18}{2 \times (-\frac{1}{2})} = -\frac{18}{-1} = 18$

步骤3：验证结果
当 $x = 18$ 时，利润函数取得最大值，对应选项 A。