题目
某工厂生产风扇,需要投入固定成本6000元,生产一台需花费成本20元,根据市场需求,风扇每年至少销售10000台,单价50元.现在公司想扩大市场份额,根据相关资料可知,产品价格每降低2元,销量会增加2000台,假设风扇产销平衡,问工厂每年生产多少风扇时获取的利润最大？
某工厂生产风扇,需要投入固定成本6000元,生产一台需花费成本20元,根据市场需求,风扇每年至少销售10000台,单价50元.现在公司想扩大市场份额,根据相关资料可知,产品价格每降低2元,销量会增加2000台,假设风扇产销平衡,问工厂每年生产多少风扇时获取的利润最大？
题目解答
答案
本题考查的是二次函数的实际应用。
设工厂每年生产的风扇数量为x台，每台风扇的单价为 
元，则销量也是x台（因为产销平衡）。
销量x与价格降低的次数k的关系是：
，总成本为
，总收入为
，利润为
，将代入，
，这是一个关于k的二次函数，且二次项系数为负，所以函数有最大值，在对称轴取得，
，将其代入
综上所述，工厂每年生产20000台时风扇时获取的利润最大。
解析
步骤 1：定义变量
设工厂每年生产的风扇数量为x台，每台风扇的单价为 (50-2k)元，则销量也是x台（因为产销平衡）。
步骤 2：建立销量与价格降低次数的关系
销量x与价格降低的次数k的关系是：x=10000+2000k。
步骤 3：计算总成本和总收入
总成本为C(x)=20x+6000，总收入为P(x)=x(50-2k)。
步骤 4：计算利润
利润为W(x)=P(x)-C(x)=x(50-2k)-(20x+6000)。
步骤 5：将销量与价格降低次数的关系代入利润函数
将x=10000+2000k代入利润函数，得到W(k)=(10000+2000k)(50-2k)-(20(10000+2000k)+6000)。
步骤 6：化简利润函数
化简得到W(k)=-4000k^2+40000k+300000。
步骤 7：求利润函数的最大值
这是一个关于k的二次函数，且二次项系数为负，所以函数有最大值，在对称轴取得，$k=-\dfrac {b}{2a}=-\dfrac {40000}{2*(-4000)}=5$。
步骤 8：计算最大利润时的销量
将其代入x=10000+2000k=10000+2000\times 5=20000。
设工厂每年生产的风扇数量为x台，每台风扇的单价为 (50-2k)元，则销量也是x台（因为产销平衡）。
步骤 2：建立销量与价格降低次数的关系
销量x与价格降低的次数k的关系是：x=10000+2000k。
步骤 3：计算总成本和总收入
总成本为C(x)=20x+6000，总收入为P(x)=x(50-2k)。
步骤 4：计算利润
利润为W(x)=P(x)-C(x)=x(50-2k)-(20x+6000)。
步骤 5：将销量与价格降低次数的关系代入利润函数
将x=10000+2000k代入利润函数，得到W(k)=(10000+2000k)(50-2k)-(20(10000+2000k)+6000)。
步骤 6：化简利润函数
化简得到W(k)=-4000k^2+40000k+300000。
步骤 7：求利润函数的最大值
这是一个关于k的二次函数，且二次项系数为负，所以函数有最大值，在对称轴取得，$k=-\dfrac {b}{2a}=-\dfrac {40000}{2*(-4000)}=5$。
步骤 8：计算最大利润时的销量
将其代入x=10000+2000k=10000+2000\times 5=20000。