题目
如下图所示的静定多跨梁结构由两根梁AB和BC在B处用铰链连接,各梁长均为2 l,在其上作用有集中力偶M及集度为q的均布载荷,已知=2m, =20kNcdot m q=22KN/m。求支座A C处的约束反力,以及铰链B受到的力。=2m, =20kNcdot m q=22KN/m
如下图所示的静定多跨梁结构由两根梁AB和BC在B处用铰链连接,各梁长均为2 l,在其上作用有集中力偶M及集度为q的均布载荷,已知
。求支座A C处的约束反力,以及铰链B受到的力。
题目解答
答案
1. 总载荷计算
均布载荷总值：
2. 设定反力
铰链B的竖向反力为
3. 平衡方程
(1) 垂直方向平衡
代入
(2) 水平方向平衡
由于没有水平载荷：
(3) 矩平衡（关于A点）
代入 
4. 解方程
从(1)式得到：
从(3)式可以得到：
所以：
将(4)代入(1)式：
整理后：
，代入(5)：
因此，
6. 求解
用(4)式求解 
7. 最终结果
铰链B的竖向反力 
解析
步骤 1：总载荷计算
均布载荷总值：$Q=q\cdot L=22\,kN/m\cdot 4\,m=88\,kN$。
步骤 2：设定反力
铰链B的竖向反力为$F_{By}$。
步骤 3：平衡方程
(1) 垂直方向平衡
$F_{Ay}+F_{By}-F_{Cy}-Q=0$
代入$Q=88\,kN$:
$F_{Ay}+F_{By}-F_{Cy}-88=0$ (1)
(2) 水平方向平衡
由于没有水平载荷：
$F_{Ax}+F_{Bx}=0$ (2)
(3) 矩平衡（关于A点）
$-M+F_{By}\cdot 2L-F_{Cy}\cdot 4L=0$
代入$M=20\,kN\cdot m$ 和$L=4\,m$:
$-20+F_{By}\cdot 4-F_{Cy}\cdot 8=0$ (3)
步骤 4：解方程
从(1)式得到：
$F_{Ay}+F_{By}-F_{Cy}=88$ (1)
从(3)式可以得到：
$F_{By}\cdot 4=20+F_{Cy}\cdot 8$
所以：
$F_{By}=\frac{20+8F_{Cy}}{4}$ (4)
将(4)代入(1)式：
$F_{Ay}+\frac{20+8F_{Cy}}{4}-F_{Cy}=88$
整理后：
$F_{Ay}+5+2F_{Cy}-F_{Cy}=88$
$F_{Ay}+F_{Cy}=83$ (5)
由于$F_{Ay}=F_{Cy}$，代入(5)：
$2F_{Ay}=83\Rightarrow F_{Ay}=41.5\,kN$
因此，
$F_{Cy}=41.5\,kN$
步骤 5：求解$F_{By}$
用(4)式求解$F_{By}$:
$F_{By}=\frac{20+8\cdot 41.5}{4}=\frac{20+332}{4}=\frac{352}{4}=88\,kN$
均布载荷总值：$Q=q\cdot L=22\,kN/m\cdot 4\,m=88\,kN$。
步骤 2：设定反力
铰链B的竖向反力为$F_{By}$。
步骤 3：平衡方程
(1) 垂直方向平衡
$F_{Ay}+F_{By}-F_{Cy}-Q=0$
代入$Q=88\,kN$:
$F_{Ay}+F_{By}-F_{Cy}-88=0$ (1)
(2) 水平方向平衡
由于没有水平载荷：
$F_{Ax}+F_{Bx}=0$ (2)
(3) 矩平衡（关于A点）
$-M+F_{By}\cdot 2L-F_{Cy}\cdot 4L=0$
代入$M=20\,kN\cdot m$ 和$L=4\,m$:
$-20+F_{By}\cdot 4-F_{Cy}\cdot 8=0$ (3)
步骤 4：解方程
从(1)式得到：
$F_{Ay}+F_{By}-F_{Cy}=88$ (1)
从(3)式可以得到：
$F_{By}\cdot 4=20+F_{Cy}\cdot 8$
所以：
$F_{By}=\frac{20+8F_{Cy}}{4}$ (4)
将(4)代入(1)式：
$F_{Ay}+\frac{20+8F_{Cy}}{4}-F_{Cy}=88$
整理后：
$F_{Ay}+5+2F_{Cy}-F_{Cy}=88$
$F_{Ay}+F_{Cy}=83$ (5)
由于$F_{Ay}=F_{Cy}$，代入(5)：
$2F_{Ay}=83\Rightarrow F_{Ay}=41.5\,kN$
因此，
$F_{Cy}=41.5\,kN$
步骤 5：求解$F_{By}$
用(4)式求解$F_{By}$:
$F_{By}=\frac{20+8\cdot 41.5}{4}=\frac{20+332}{4}=\frac{352}{4}=88\,kN$