题目
某厂生产某产品，其固定成本为2000元，每生产一吨产品的成本为60元，该种产品的需求函数为Q=1000-10p(Q为需求量，p为价格)，试求： (1)总成本函数，总收入函数． (2)产量为多少吨时利润最大？ (3)获得最大利润时的价格．
某厂生产某产品，其固定成本为2000元，每生产一吨产品的成本为60元，该种产品的需求函数为Q=1000-10p(Q为需求量，p为价格)，试求：
(1)总成本函数，总收入函数．
(2)产量为多少吨时利润最大？
(3)获得最大利润时的价格．
题目解答
答案
（3）
解析
步骤 1：确定总成本函数
总成本函数由固定成本和变动成本组成。固定成本为2000元，每生产一吨产品的变动成本为60元。因此，总成本函数为 $C(Q) = 60Q + 2000$，其中Q为产量。
步骤 2：确定总收入函数
根据需求函数 $Q = 1000 - 10p$，可以解出价格 $p$ 关于需求量 $Q$ 的函数，即 $p = 100 - \frac{1}{10}Q$。总收入函数为 $R(Q) = pQ = (100 - \frac{1}{10}Q)Q = 100Q - \frac{1}{10}Q^2$。
步骤 3：确定利润函数
利润函数为总收入减去总成本，即 $L(Q) = R(Q) - C(Q) = (100Q - \frac{1}{10}Q^2) - (60Q + 2000) = 40Q - \frac{1}{10}Q^2 - 2000$。
步骤 4：求利润最大时的产量
对利润函数求导，得到 $L'(Q) = 40 - \frac{1}{5}Q$。令 $L'(Q) = 0$，解得 $Q = 200$。因此，当产量为200吨时，利润最大。
步骤 5：求利润最大时的价格
将 $Q = 200$ 代入需求函数 $p = 100 - \frac{1}{10}Q$，得到 $p = 100 - \frac{1}{10} \times 200 = 80$。因此，当产量为200吨时，价格为80元。
总成本函数由固定成本和变动成本组成。固定成本为2000元，每生产一吨产品的变动成本为60元。因此，总成本函数为 $C(Q) = 60Q + 2000$，其中Q为产量。
步骤 2：确定总收入函数
根据需求函数 $Q = 1000 - 10p$，可以解出价格 $p$ 关于需求量 $Q$ 的函数，即 $p = 100 - \frac{1}{10}Q$。总收入函数为 $R(Q) = pQ = (100 - \frac{1}{10}Q)Q = 100Q - \frac{1}{10}Q^2$。
步骤 3：确定利润函数
利润函数为总收入减去总成本，即 $L(Q) = R(Q) - C(Q) = (100Q - \frac{1}{10}Q^2) - (60Q + 2000) = 40Q - \frac{1}{10}Q^2 - 2000$。
步骤 4：求利润最大时的产量
对利润函数求导，得到 $L'(Q) = 40 - \frac{1}{5}Q$。令 $L'(Q) = 0$，解得 $Q = 200$。因此，当产量为200吨时，利润最大。
步骤 5：求利润最大时的价格
将 $Q = 200$ 代入需求函数 $p = 100 - \frac{1}{10}Q$，得到 $p = 100 - \frac{1}{10} \times 200 = 80$。因此，当产量为200吨时，价格为80元。