题目

10.设某个完全竞争企业的短期总成本函数为 =(0.030)^3-(0.60)^2+80+20 。-|||-其产品的市场价格(P)为5。该企业在利润最大化产量上是盈还是亏?

题目解答

本题可先根据完全竞争企业利润最大化的条件求出均衡产量，再计算出此时的总成本和总收益，最后通过比较总成本和总收益来判断企业是盈还是亏。

在完全竞争市场中，企业利润最大化的条件是边际成本$MC$等于市场价格$P$，即$MC = P$。

计算边际成本$MC$：边际成本是总成本函数$C$对产量$Q$的导数。已知总成本函数$C = 0.03Q^{3} - 0.6Q^{2} + 8Q + 20$，对其求导可得：$MC=\frac{dC}{dQ}=0.09Q^{2}-1.2Q + 8$
根据利润最大化条件求出产量$Q$：已知市场价格$P = 5$，由$MC = P$可得：$0.09Q^{2}-1.2Q + 8 = 5$移项化为一元二次方程的标准形式：$0.09Q^{2}-1.2Q + 3 = 0$两边同时乘以$100$去掉小数得：$9Q^{2}-120Q + 300 = 0$两边再同时除以$3$化简得：$3Q^{2}-40Q + 100 = 0$对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a\neq0$），其求根公式为$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，在方程$3Q^{2}-40Q + 100 = 0$中，$a = 3$，$b = -40$，$c = 100$，代入求根公式可得：$Q=\frac{40\pm\sqrt{(-40)^2-4\times3\times100}}{2\times3}=\frac{40\pm\sqrt{1600 - 1200}}{6}=\frac{40\pm\sqrt{400}}{6}=\frac{40\pm20}{6}$解得$Q_1=\frac{40 + 20}{6}=10$，$Q_2=\frac{40 - 20}{6}=\frac{10}{3}$。为了确定哪个产量是利润最大化的产量，我们需要判断二阶导数$MC^\prime$的正负性，对$MC = 0.09Q^{2}-1.2Q + 8$求导得$MC^\prime=0.18Q - 1.2$。当$Q = 10$时，$MC^\prime=0.18\times10 - 1.2 = 0.6>0$，说明边际成本在$Q = 10$处是递增的，此时利润达到最大化；当$Q = \frac{10}{3}$时，$MC^\prime=0.18\times\frac{10}{3} - 1.2 = 0.6 - 1.2 = -0.6<0$，说明边际成本在$Q = \frac{10}{3}$处是递减的，此时利润不是最大化。所以，利润最大化的产量$Q = 10$。

计算总成本$C$：将$Q = 10$代入总成本函数$C = 0.03Q^{3} - 0.6Q^{2} + 8Q + 20$可得：$C=0.03\times10^{3}-0.6\times10^{2}+8\times10 + 20=30 - 60 + 80 + 20 = 70$
计算总收益$TR$：总收益等于市场价格乘以产量，已知$P = 5$，$Q = 10$，则：$TR = P\times Q = 5\times10 = 50$

利润$\pi = TR - C$，将$TR = 50$，$C = 70$代入可得：$\pi = 50 - 70 = -20<0$因为利润小于$0$，所以该企业在利润最大化产量上是亏损的。

综上，该企业在利润最大化产量上是亏损的，亏损额为$20$。