题目
用以下两种方法求数量场u=xy+yz+zx在点P(1，2，3)处沿其矢径方向的方向导数． (1)直接应用方向导数公式； (2)将方向导数作为梯度在该方向上的投影．
用以下两种方法求数量场u=xy+yz+zx在点P(1，2，3)处沿其矢径方向的方向导数． (1)直接应用方向导数公式； (2)将方向导数作为梯度在该方向上的投影．
题目解答
答案
(1)点P的矢径r=i+2j+3k其模．其方向余弦为 两种方法结果相同．
(1)点P的矢径r=i+2j+3k,其模．其方向余弦为两种方法结果相同．
(1)点P的矢径r=i+2j+3k,其模．其方向余弦为两种方法结果相同．
解析
步骤 1：计算点P处的矢径方向余弦
点P的矢径为r = i + 2j + 3k，其模为|P| = √(1^2 + 2^2 + 3^2) = √14。因此，方向余弦为cosα = 1/√14，cosβ = 2/√14，cosγ = 3/√14。
步骤 2：计算数量场u在点P处的梯度
数量场u = xy + yz + zx，其梯度为∇u = (∂u/∂x)i + (∂u/∂y)j + (∂u/∂z)k。在点P(1, 2, 3)处，∂u/∂x = y + z = 5，∂u/∂y = x + z = 4，∂u/∂z = y + x = 3。因此，∇u = 5i + 4j + 3k。
步骤 3：计算方向导数
(1)直接应用方向导数公式：方向导数为∇u·r/|r| = (5i + 4j + 3k)·(i + 2j + 3k)/√14 = (5 + 8 + 9)/√14 = 22/√14。
(2)将方向导数作为梯度在该方向上的投影：方向导数为∇u·r/|r| = (5i + 4j + 3k)·(i + 2j + 3k)/√14 = (5 + 8 + 9)/√14 = 22/√14。
点P的矢径为r = i + 2j + 3k，其模为|P| = √(1^2 + 2^2 + 3^2) = √14。因此，方向余弦为cosα = 1/√14，cosβ = 2/√14，cosγ = 3/√14。
步骤 2：计算数量场u在点P处的梯度
数量场u = xy + yz + zx，其梯度为∇u = (∂u/∂x)i + (∂u/∂y)j + (∂u/∂z)k。在点P(1, 2, 3)处，∂u/∂x = y + z = 5，∂u/∂y = x + z = 4，∂u/∂z = y + x = 3。因此，∇u = 5i + 4j + 3k。
步骤 3：计算方向导数
(1)直接应用方向导数公式：方向导数为∇u·r/|r| = (5i + 4j + 3k)·(i + 2j + 3k)/√14 = (5 + 8 + 9)/√14 = 22/√14。
(2)将方向导数作为梯度在该方向上的投影：方向导数为∇u·r/|r| = (5i + 4j + 3k)·(i + 2j + 3k)/√14 = (5 + 8 + 9)/√14 = 22/√14。