题目
阅读理解(共2题，50.0分) 21.(29.0分) 已知导线点A、B: X_(A)=100米 Y_(A.)=100米 X_(B)=200米 Y_(B.)=200米。 现要从A点用极坐标的方法测设C点:X_(C)=0米 Y_(C.)=200米，计算测设数据：水平角β和水平距离D.(12分)
阅读理解(共2题，50.0分) 21.(29.0分) 已知导线点A、B: $X_{A}=100$米 $Y_{
A.}=100$米 $X_{B}=200$米 $Y_{
B.}=200$米。 现要从A点用极坐标的方法测设C点:$X_{C}=0$米 $Y_{
C.}=200$米，计算测设数据：水平角β和水平距离
D.(12分)
A.}=100$米 $X_{B}=200$米 $Y_{
B.}=200$米。 现要从A点用极坐标的方法测设C点:$X_{C}=0$米 $Y_{
C.}=200$米，计算测设数据：水平角β和水平距离
D.(12分)
题目解答
答案
为了从A点用极坐标的方法测设C点，我们需要计算水平角β和水平距离D。以下是一个分步的解题过程：
1. **计算AB的坐标方位角α_{AB}：**
A点的坐标为 $ (X_A, Y_A) = (100, 100) $ 米，B点的坐标为 $ (X_B, Y_B) = (200, 200) $ 米。
坐标方位角的计算公式为：
\[
\alpha_{AB} = \arctan\left(\frac{Y_B - Y_A}{X_B - X_A}\right)
\]
代入A、B点的坐标：
\[
\alpha_{AB} = \arctan\left(\frac{200 - 100}{200 - 100}\right) = \arctan(1) = 45^\circ
\]
2. **计算AC的坐标方位角α_{AC}：**
C点的坐标为 $ (X_C, Y_C) = (0, 200) $ 米。
坐标方位角的计算公式为：
\[
\alpha_{AC} = \arctan\left(\frac{Y_C - Y_A}{X_C - X_A}\right)
\]
代入A、C点的坐标：
\[
\alpha_{AC} = \arctan\left(\frac{200 - 100}{0 - 100}\right) = \arctan(-1) = -45^\circ + 180^\circ = 135^\circ
\]
(因为C点在A点的左上方，所以加180°)
3. **计算水平角β：**
水平角β是AB方向与AC方向之间的夹角，即：
\[
\beta = \alpha_{AC} - \alpha_{AB}
\]
代入α_{AC}和α_{AB}的值：
\[
\beta = 135^\circ - 45^\circ = 90^\circ
\]
4. **计算水平距离D_{AC}：**
水平距离的计算公式为：
\[
D_{AC} = \sqrt{(X_C - X_A)^2 + (Y_C - Y_A)^2}
\]
代入A、C点的坐标：
\[
D_{AC} = \sqrt{(0 - 100)^2 + (200 - 100)^2} = \sqrt{(-100)^2 + 100^2} = \sqrt{10000 + 10000} = \sqrt{20000} = 100\sqrt{2} \approx 141.42 \text{米}
\]
因此，测设数据为：
\[
\boxed{\beta = 90^\circ, D = 141.42 \text{米}}
\]
解析
步骤 1：计算AB的坐标方位角α_{AB}
根据A点和B点的坐标，使用坐标方位角的计算公式：
\[ \alpha_{AB} = \arctan\left(\frac{Y_B - Y_A}{X_B - X_A}\right) \]
代入A、B点的坐标：
\[ \alpha_{AB} = \arctan\left(\frac{200 - 100}{200 - 100}\right) = \arctan(1) = 45^\circ \]
步骤 2：计算AC的坐标方位角α_{AC}
根据A点和C点的坐标，使用坐标方位角的计算公式：
\[ \alpha_{AC} = \arctan\left(\frac{Y_C - Y_A}{X_C - X_A}\right) \]
代入A、C点的坐标：
\[ \alpha_{AC} = \arctan\left(\frac{200 - 100}{0 - 100}\right) = \arctan(-1) = -45^\circ + 180^\circ = 135^\circ \]
(因为C点在A点的左上方，所以加180°)
步骤 3：计算水平角β
水平角β是AB方向与AC方向之间的夹角，即：
\[ \beta = \alpha_{AC} - \alpha_{AB} \]
代入α_{AC}和α_{AB}的值：
\[ \beta = 135^\circ - 45^\circ = 90^\circ \]
步骤 4：计算水平距离D_{AC}
水平距离的计算公式为：
\[ D_{AC} = \sqrt{(X_C - X_A)^2 + (Y_C - Y_A)^2} \]
代入A、C点的坐标：
\[ D_{AC} = \sqrt{(0 - 100)^2 + (200 - 100)^2} = \sqrt{(-100)^2 + 100^2} = \sqrt{10000 + 10000} = \sqrt{20000} = 100\sqrt{2} \approx 141.42 \text{米} \]
根据A点和B点的坐标，使用坐标方位角的计算公式：
\[ \alpha_{AB} = \arctan\left(\frac{Y_B - Y_A}{X_B - X_A}\right) \]
代入A、B点的坐标：
\[ \alpha_{AB} = \arctan\left(\frac{200 - 100}{200 - 100}\right) = \arctan(1) = 45^\circ \]
步骤 2：计算AC的坐标方位角α_{AC}
根据A点和C点的坐标，使用坐标方位角的计算公式：
\[ \alpha_{AC} = \arctan\left(\frac{Y_C - Y_A}{X_C - X_A}\right) \]
代入A、C点的坐标：
\[ \alpha_{AC} = \arctan\left(\frac{200 - 100}{0 - 100}\right) = \arctan(-1) = -45^\circ + 180^\circ = 135^\circ \]
(因为C点在A点的左上方，所以加180°)
步骤 3：计算水平角β
水平角β是AB方向与AC方向之间的夹角，即：
\[ \beta = \alpha_{AC} - \alpha_{AB} \]
代入α_{AC}和α_{AB}的值：
\[ \beta = 135^\circ - 45^\circ = 90^\circ \]
步骤 4：计算水平距离D_{AC}
水平距离的计算公式为：
\[ D_{AC} = \sqrt{(X_C - X_A)^2 + (Y_C - Y_A)^2} \]
代入A、C点的坐标：
\[ D_{AC} = \sqrt{(0 - 100)^2 + (200 - 100)^2} = \sqrt{(-100)^2 + 100^2} = \sqrt{10000 + 10000} = \sqrt{20000} = 100\sqrt{2} \approx 141.42 \text{米} \]