4.2 用力法计算题4.2图所示刚架,画出弯矩图,-|||-并求C点竖向位移。EI为常量,支座A,B的位移分别-|||-为 a=1cm =2cm, =0.01rdd-|||-C B-|||-A !-|||-1m 2m-|||-题4.2图

考查要点：本题主要考查力法在超静定结构位移计算中的应用，涉及基本结构的选取、力法方程的建立、刚度系数与自由项的计算，以及虚功原理求位移。

解题核心思路：

1. 解除多余约束，将原结构转化为静定基本结构；
2. 建立力法方程，通过单位荷载法计算刚度系数$S_{11}$和自由项$\Delta_{1c}$；
3. 求解多余未知力$X_1$，利用弯矩叠加法绘制弯矩图；
4. 在静定基本结构上施加虚拟单位力，通过虚功原理计算C点竖向位移。

破题关键点：

• 正确选取基本结构，确定多余约束；
• 符号处理：支座位移方向与坐标系的统一；
• 积分计算：刚度系数和位移计算中的分段积分。

基本结构与力法方程

1. 解除B点竖向支座，得到基本结构（如题4.2解答图b）；
2. 建立力法方程：
   $S_{11}X_1 + \Delta_{1c} = -a$
   其中，$a=0.01\,\text{m}$为B点原结构的竖向位移。

刚度系数与自由项计算

刚度系数$S_{11}$

单位力$X_1=1$作用下，计算各杆件弯矩并积分：
$S_{11} = \int \frac{M_1^2}{EI} \, dx = \frac{32}{3EI}$

自由项$\Delta_{1c}$

荷载作用下，基本结构的支座反力为$R_1=1\,\text{kN}$，$R_2=2\,\text{kN}$。
支座位移引起的位移：
$\Delta_{1c} = -\sum R_i \cdot \Delta_i = -(1 \cdot b + 2 \cdot c) = -0.03\,\text{m}$
（$b=2\,\text{cm}=0.02\,\text{m}$，$c=0.01\,\text{rad}$）

求解多余力$X_1$

代入力法方程：
$X_1 = \frac{-\Delta_{1c} - a}{S_{11}} = \frac{0.03 - 0.01}{32/(3EI)} = \frac{3EI}{1600}$

弯矩图绘制

按叠加公式$M = M_1 X_1 + M_C$绘制弯矩图（如题4.2解答图d）。

C点竖向位移计算

虚拟状态

在静定基本结构上施加向上的单位力（如题4.2解答图e），计算弯矩$M_1$；

虚功方程

$\Delta_{CV} = \frac{1}{EI} \int M_1 M \, dx$
分段积分后得：
$\Delta_{CV} = 0.75\,\text{cm}$