设某种商品的需求量sim U[ 10,30] ,商店每销售一单位该商品获利 500 元 若供大于求则削价处理 ,每处理一单位商品亏损 100 元 ,若供不应求则可从外部调剂供应, 此时每单位商品获利 300 元, 问商店进多少该商品才能使商店所获利润的期望值最大.

设商店进货量为a（$10\leqslant a\leqslant 30$），需求量$X\sim U[10,30] $，其概率密度函数$f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{1}{20},& 10\leqslant x\leqslant 30\\ 0,& \text{其他}\end{array}\right.$。

当$X\geqslant a$（供不应求）：利润$L = 500a + 300(X - a)=300X + 200a$。

当$X < a $（供大于求）：利润$L = 500X - 100(a - X)=600X - 100a $。

利润期望值$E(L)$：

$\begin{array}{ll}E\left(L\right)& ={\int }_{10}^{a}(600x-100a)\frac{1}{20}dx+{\int }_{a}^{30}(300x+200a)\frac{1}{20}dx\\ & =-7.5{a}^{2}+350a+5250\end{array}$

求期望值最大时的进货量a：

对$E(L) $关于a求导，$E^\prime(L)=-15a + 350 $。

令$E^\prime(L)=0 $，即-15a + 350 = 0，解得$a=\frac{350}{15}\approx23.33 $。

由于进货量应该为整数，故应进23件商品，即商店进23件该商品才能使商店所获利润的期望值最大.