[题目]某湖泊的水量为v,每年排入湖泊内含污-|||-染物A的污水量为 v/6, 流入湖泊内不含A的水量为 dfrac (v)(6)-|||-流出湖泊的水量为 dfrac (1)(3) 已知1999年年底湖中A的含量-|||-为5m0,超过国家规定指标.为了治理污水,从2000年-|||-年初起,限定排入湖泊中含A污水的浓度不超过 dfrac ({m)_(0)}(V)-|||-问至多需经过多少年,湖泊中污染物A的含量降至-|||-m0以内?(注:设湖水中A的浓度时均匀的.)

考查要点：本题主要考查微分方程在浓度变化问题中的应用，涉及动态平衡模型的建立与求解。

解题核心思路：

1. 建立微分方程：根据污染物的流入、流出速率，写出含量变化率的表达式。
2. 求解微分方程：通过分离变量法或积分因子法求通解，结合初始条件确定特解。
3. 求解目标时间：将污染物含量限制条件代入特解，解出所需时间。

破题关键点：

• 正确分析流量与浓度关系，明确流入、流出的污染物量。
• 分离变量积分时注意代数变形的准确性。
• 初始条件代入时需注意单位一致性。

建立微分方程

设时刻 $t$ 湖泊中污染物 $A$ 的含量为 $m(t)$。

• 流入量：含污染物的污水浓度为 $\dfrac{m_0}{V}$，流量为 $\dfrac{V}{6}$，故流入速率为 $\dfrac{m_0}{V} \cdot \dfrac{V}{6} = \dfrac{m_0}{6}$。
• 流出量：湖水浓度为 $\dfrac{m(t)}{V}$，流量为 $\dfrac{V}{3}$，故流出速率为 $\dfrac{m(t)}{V} \cdot \dfrac{V}{3} = \dfrac{m(t)}{3}$。
• 含量变化率：
  $\dfrac{\mathrm{d}m(t)}{\mathrm{d}t} = \dfrac{m_0}{6} - \dfrac{m(t)}{3}$

分离变量与积分

将方程整理为：
$\dfrac{\mathrm{d}m}{m_0 - 2m} = \dfrac{\mathrm{d}t}{3}$
积分得：
$-\dfrac{1}{2}\ln|m_0 - 2m| = \dfrac{t}{3} + C$
化简为：
$m_0 - 2m = Ke^{-\frac{2}{3}t} \quad (K \text{ 为常数})$

代入初始条件

当 $t=0$ 时，$m(0) = 5m_0$，代入得：
$m_0 - 2 \cdot 5m_0 = K \implies K = -9m_0$
故特解为：
$m(t) = \dfrac{m_0}{2} + \dfrac{9m_0}{2}e^{-\frac{t}{3}}$

求目标时间

令 $m(t) = m_0$，解得：
$\dfrac{m_0}{2} + \dfrac{9m_0}{2}e^{-\frac{t}{3}} = m_0 \implies e^{-\frac{t}{3}} = \dfrac{1}{9}$
取自然对数：
$-\dfrac{t}{3} = \ln \dfrac{1}{9} \implies t = 6\ln 3$