7．11 某企业生产的袋装食品采用自动打包机包装，每袋标准重量为 100g。现从某天生产的一批产品中按重复抽样随机抽取 50 包进行检查，测得每包重量（单位：g）如下：每包重量（g）包数96—98298—1003100—10234102—1047104—1064合计50已知食品包重量服从正态分布，要求：（1） 确定该种食品平均重量的 95%的置信区间。（2）如果规定食品重量低于 100 g 属于不合格，确定该批食品合格率的 95%的置信区间。7⋅11 已知： n=50 x=∑ Mf=101.32 s=√∑ (M−x )2f=1.6343∑ fn−1

考查要点
本题主要考查均值的置信区间和比例的置信区间的计算，涉及正态分布下的z区间应用。

解题思路

1. 均值的置信区间：
   • 核心公式：$\bar{x} \pm Z_{\alpha/2} \cdot \frac{s}{\sqrt{n}}$
   • 关键点：确认正态分布条件，选择z值（95%对应$Z_{0.025}=1.96$），代入样本均值、标准差和样本量计算。
2. 比例的置信区间：
   • 核心公式：$\hat{p} \pm Z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}$
   • 关键点：计算合格率$\hat{p}$，代入公式计算标准误和区间范围。

第（1）题：平均重量的95%置信区间

确定参数

• 样本均值$\bar{x}=101.32$，样本标准差$s=1.6343$，样本量$n=50$。
• 置信水平$1-\alpha=95\%$，对应$Z_{\alpha/2}=1.96$。

计算标准误

$\text{标准误} = \frac{s}{\sqrt{n}} = \frac{1.6343}{\sqrt{50}} \approx 0.231$

计算置信区间

$\text{置信区间} = 101.32 \pm 1.96 \times 0.231 \approx [100.868, 101.772]$

第（2）题：合格率的95%置信区间

计算合格率

• 合格数$=50 - (2+3)=45$，合格率$\hat{p} = \frac{45}{50} = 0.9$。

计算标准误

$\text{标准误} = \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}} = \sqrt{\frac{0.9 \times 0.1}{50}} \approx 0.0424$

计算置信区间

$\text{置信区间} = 0.9 \pm 1.96 \times 0.0424 \approx [0.817, 0.983]$