T A-|||-T 8m-|||-B 4m C(20分)如图,20℃软水由高位槽分别流入反应器B和吸收塔C中,器B内压力为0.5atm(表压),塔C中真空度为0.1atm,总管为φ57 x 3.5mm,管长(20+zA)m,通向器B的管路为φ25 x 2.5mm,长15m。通向塔C的管路为φ25 x 2.5mm,长20m(以上管长包括各种局部阻力的当量长度在内)。管道皆为无缝钢管,粗糙度可取为0.15mm。如果要求向反应器供应0.314kg/s的水,向吸收塔供应0.471kg/s水,问高位槽液面至少高于地面多少?

本题考查流体在管路中的流动以及机械能衡算的知识。解题思路是先根据已知的质量流量求出各管路的流速，再计算雷诺数和摩擦系数，然后分别在高位槽液面与反应器进口管处水平面、高位槽液面与吸收塔液体入口所在截面之间列机械能衡算方程，最后求解出高位槽液面高于地面的高度，并取两个结果中的较大值。

1. 计算各管路的流速和雷诺数

• 主管路：
  • 主管路的质量流量为向反应器和吸收塔供应水的质量流量之和，即$m = 0.314 + 0.471 = 0.785\ kg/s$。
  • 主管路的内径$d_{AO}=57 - 2\times3.5 = 50\ mm = 0.05\ m$。
  • 根据流速公式$u=\frac{m}{\rho A}$（其中$\rho$为水的密度，取$1000\ kg/m^3$，$A$为管道横截面积），可得主管路流速$u_{AO}=\frac{0.785}{1000\times\frac{\pi}{4}\times0.05^2}=0.4\ m/s$。
  • 计算雷诺数$Re_{AO}=\frac{d_{AO}u_{AO}\rho}{\mu}$（其中$\mu$为水的黏度，$20^{\circ}C$时水的黏度$\mu = 1\times10^{-3}\ Pa\cdot s$），则$Re_{AO}=\frac{0.05\times0.4\times1000}{1\times10^{-3}} = 2.0\times10^{4}$。
  • 已知粗糙度$\varepsilon = 0.15\ mm$，则$\frac{\varepsilon}{d_{AO}}=\frac{0.15}{50}=0.003$，由$\frac{\varepsilon}{d_{AO}}$和$Re_{AO}$查莫迪图得$\lambda_{AO}=0.0305$。
• 通向反应器的管路：
  • 内径$d_{OB}=25 - 2\times2.5 = 20\ mm = 0.02\ m$。
  • 流速$u_{OB}=\frac{0.314}{1000\times\frac{\pi}{4}\times0.02^2}=1.0\ m/s$。
  • 雷诺数$Re_{OB}=\frac{d_{OB}u_{OB}\rho}{\mu}=\frac{0.02\times1.0\times1000}{1\times10^{-3}} = 2\times10^{4}$。
  • $\frac{\varepsilon}{d_{OB}}=\frac{0.15}{20}=0.0075$，由$\frac{\varepsilon}{d_{OB}}$和$Re_{OB}$查莫迪图得$\lambda_{OB}=0.038$。
• 通向吸收塔的管路：
  • 内径$d_{OC}=25 - 2\times2.5 = 20\ mm = 0.02\ m$。
  • 流速$u_{OC}=\frac{0.471}{1000\times\frac{\pi}{4}\times0.02^2}=1.5\ m/s$。
  • 雷诺数$Re_{OC}=\frac{d_{OC}u_{OC}\rho}{\mu}=\frac{0.02\times1.5\times1000}{1\times10^{-3}} = 3\times10^{4}$。
  • $\frac{\varepsilon}{d_{OC}}=\frac{0.15}{20}=0.0075$，由$\frac{\varepsilon}{d_{OC}}$和$Re_{OC}$查莫迪图得$\lambda_{OC}=0.0365$。

2. 在高位槽液面和反应器进口管处水平面之间列机械能衡算方程

以反应器进口管处水平面为基准面，机械能衡算方程为$\frac{P_{A}}{\rho g}+\frac{u_{A}^{2}}{2g}+z_{A}=\frac{P_{B}}{\rho g}+\frac{u_{B}^{2}}{2g}+z_{B}+\sum h_{f}$。

• 已知$P_{A}=0$（表压），$P_{B}=0.5\times98100 = 49050\ Pa$（表压），$z_{A}-z_{B}=z_{A}-4$，$u_{A}=0$，$u_{B}=u_{OB}=1.0\ m/s$。
• 总能量损失$\sum h_{f}=\lambda_{AO}\frac{l_{AO}+z_{A}}{d_{AO}}\frac{u_{AO}^{2}}{2g}+\lambda_{OB}\frac{l_{OB}}{d_{OB}}\frac{u_{OB}^{2}}{2g}=0.0305\times\frac{20 + z_{A}}{0.05}\times\frac{0.4^{2}}{2\times9.81}+0.038\times\frac{15}{0.02}\times\frac{1.0^{2}}{2\times9.81}=1.552 + 0.00497z_{A}$。
• 将数据代入方程得：
  $\begin{align*}0 + 0 + z_{A}&=\frac{49050}{1000\times9.81}+\frac{1.0^{2}}{2\times9.81}+4 + 1.552 + 0.00497z_{A}\\z_{A}-0.00497z_{A}&=5 + 0.051 + 4 + 1.552\\0.99503z_{A}&=10.603\\z_{A}&=10.66\ m\end{align*}$

3. 在高位槽液面与吸收塔液体入口所在截面之间列机械能衡算式

以吸收塔液体入口所在截面为基准面，机械能衡算方程为$\frac{P_{A}}{\rho g}+\frac{u_{A}^{2}}{2g}+z_{A}=\frac{P_{C}}{\rho g}+\frac{u_{C}^{2}}{2g}+z_{C}+\sum h_{f}$。

• 已知$P_{A}=0$（表压），$P_{C}=-0.1\times98100 = -9810\ Pa$（表压），$z_{A}-z_{C}=z_{A}-8$，$u_{A}=0$，$u_{C}=u_{OC}=1.5\ m/s$。
• 总能量损失$\sum h_{f}=\lambda_{AO}\frac{l_{AO}+z_{A}}{d_{AO}}\frac{u_{AO}^{2}}{2g}+\lambda_{OC}\frac{l_{OC}}{d_{OC}}\frac{u_{OC}^{2}}{2g}=0.0305\times\frac{20 + z_{A}}{0.05}\times\frac{0.4^{2}}{2\times9.81}+0.0365\times\frac{20}{0.02}\times\frac{1.5^{2}}{2\times9.81}=4.285 + 0.00497z_{A}$。
• 将数据代入方程得：
  $\begin{align*}0 + 0 + z_{A}&=\frac{-9810}{1000\times9.81}+\frac{1.5^{2}}{2\times9.81}+8 + 4.285 + 0.00497z_{A}\\z_{A}-0.00497z_{A}&=-1 + 0.114 + 8 + 4.285\\0.99503z_{A}&=11.4\\z_{A}&=11.46\ m\end{align*}$

4. 确定最终结果

比较两个$z_{A}$值，取其大者，即$z_{A}=11.46\ m$为最终结果。