题目

某厂家生产的一种产品同时在两个市场销售，售价分别为 p_(1) 和 p_(2)，销售量分别 为 q_(1) 和 q_(2),需求函数分别为 q_(1)=24-0.2p_(1),q_(2)=10-0.05p_(2), 总成本函数为 C=35+40(q_(1)+q_(2)). 试问:厂家如何确定两个市场的售价,能使其获得的总利润最大?最大总利润为 多少? p_(1)=______,p_(2)=______,可使总利润最大且最大利润 L_(max)=______. 第1空: 第2空: 第3空:

某厂家生产的一种产品同时在两个市场销售，售价分别为 $p_{1}$ 和 $p_{2}$，销售量分别 为 $q_{1}$ 和 $q_{2}$,需求函数分别为 $q_{1}=24-0.2p_{1},q_{2}=10-0.05p_{2},$ 总成本函数为 $C=35+40(q_{1}+q_{2}).$ 试问:厂家如何确定两个市场的售价,能使其获得的总利润最大?最大总利润为 多少? $p_{1}=$______,$p_{2}=$______,可使总利润最大且最大利润 $L_{max}=$______. 第1空: 第2空: 第3空:

题目解答

答案

为了确定两个市场的售价，使厂家获得的总利润最大，我们需要遵循以下步骤： 1. **表示总收益 $ R $ 作为 $ p_1 $ 和 $ p_2 $ 的函数。** 2. **表示总利润 $ L $ 作为 $ p_1 $ 和 $ p_2 $ 的函数。** 3. **通过求 $ L $ 关于 $ p_1 $ 和 $ p_2 $ 的偏导数并设为零，找到临界点。** 4. **验证临界点是最大值。** ### 第1步：表示总收益 $ R $ 作为 $ p_1 $ 和 $ p_2 $ 的函数 总收益 $ R $ 是两个市场收益的总和： \[ R = p_1 q_1 + p_2 q_2. \] 使用需求函数 $ q_1 = 24 - 0.2p_1 $ 和 $ q_2 = 10 - 0.05p_2 $，我们将它们代入收益函数： \[ R = p_1 (24 - 0.2p_1) + p_2 (10 - 0.05p_2) = 24p_1 - 0.2p_1^2 + 10p_2 - 0.05p_2^2. \] ### 第2步：表示总利润 $ L $ 作为 $ p_1 $ 和 $ p_2 $ 的函数 总利润 $ L $ 是总收益减去总成本： \[ L = R - C. \] 总成本函数是 $ C = 35 + 40(q_1 + q_2) $。将需求函数代入成本函数，我们得到： \[ q_1 + q_2 = (24 - 0.2p_1) + (10 - 0.05p_2) = 34 - 0.2p_1 - 0.05p_2, \] \[ C = 35 + 40(34 - 0.2p_1 - 0.05p_2) = 35 + 1360 - 8p_1 - 2p_2 = 1395 - 8p_1 - 2p_2. \] 现在，将 $ R $ 和 $ C $ 代入利润函数，我们得到： \[ L = (24p_1 - 0.2p_1^2 + 10p_2 - 0.05p_2^2) - (1395 - 8p_1 - 2p_2) = 32p_1 - 0.2p_1^2 + 12p_2 - 0.05p_2^2 - 1395. \] ### 第3步：通过求 $ L $ 关于 $ p_1 $ 和 $ p_2 $ 的偏导数并设为零，找到临界点 求 $ L $ 关于 $ p_1 $ 的偏导数： \[ \frac{\partial L}{\partial p_1} = 32 - 0.4p_1. \] 设其为零： \[ 32 - 0.4p_1 = 0 \implies p_1 = 80. \] 求 $ L $ 关于 $ p_2 $ 的偏导数： \[ \frac{\partial L}{\partial p_2} = 12 - 0.1p_2. \] 设其为零： \[ 12 - 0.1p_2 = 0 \implies p_2 = 120. \] ### 第4步：验证临界点是最大值 为了验证，我们检查 $ L $ 的二阶偏导数： \[ \frac{\partial^2 L}{\partial p_1^2} = -0.4, \] \[ \frac{\partial^2 L}{\partial p_2^2} = -0.1, \] \[ \frac{\partial^2 L}{\partial p_1 \partial p_2} = 0. \] Hessian 矩阵 $ H $ 是： \[ H = \begin{bmatrix} -0.4 & 0 \\ 0 & -0.1 \end{bmatrix}. \] Hessian 矩阵的行列式是： \[ \det(H) = (-0.4)(-0.1) - (0)(0) = 0.04. \] 由于 $ \det(H) > 0 $ 且 $ \frac{\partial^2 L}{\partial p_1^2} < 0 $，临界点 $ (p_1, p_2) = (80, 120) $ 是一个最大值。 ### 计算最大总利润 将 $ p_1 = 80 $ 和 $ p_2 = 120 $ 代回利润函数： \[ L_{\text{max}} = 32(80) - 0.2(80)^2 + 12(120) - 0.05(120)^2 - 1395 = 2560 - 1280 + 1440 - 720 - 1395 = 605. \] 因此，使总利润最大化的售价是 $ p_1 = 80 $ 和 $ p_2 = 120 $，最大总利润是 $ L_{\text{max}} = 605 $。 最终答案是： \[ \boxed{80, 120, 605}. \]

解析

考查要点：本题主要考查利润最大化问题，涉及多元函数的极值求解。需要将总利润表示为两个价格变量的函数，通过求偏导找到临界点，并验证其是否为最大值。

解题核心思路：

  1. 构建利润函数：总利润=总收益−总成本，需将需求函数代入收益和成本函数。
  2. 求偏导找极值：对利润函数分别关于两个价格变量求偏导，联立方程求解临界点。
  3. 二阶条件验证：通过Hessian矩阵判断临界点是否为极大值点。

破题关键点：

  • 正确表达总收益和总成本：注意需求函数与价格的关系，以及总成本中销售量的叠加。
  • 偏导数的计算：确保符号和系数正确，避免代数错误。
  • Hessian矩阵的行列式判断：确认极值的性质。

1. 构建总收益函数

总收益为两个市场收益之和：
$R = p_1 q_1 + p_2 q_2 = p_1(24 - 0.2p_1) + p_2(10 - 0.05p_2) = 24p_1 - 0.2p_1^2 + 10p_2 - 0.05p_2^2.$

2. 构建总成本函数

总成本为：
$C = 35 + 40(q_1 + q_2) = 35 + 40\left[(24 - 0.2p_1) + (10 - 0.05p_2)\right] = 1395 - 8p_1 - 2p_2.$

3. 构建利润函数

利润为收益减成本：
$L = R - C = (24p_1 - 0.2p_1^2 + 10p_2 - 0.05p_2^2) - (1395 - 8p_1 - 2p_2) = 32p_1 - 0.2p_1^2 + 12p_2 - 0.05p_2^2 - 1395.$

4. 求偏导找临界点

  • 对 $p_1$ 求偏导：
    $\frac{\partial L}{\partial p_1} = 32 - 0.4p_1 = 0 \implies p_1 = 80.$
  • 对 $p_2$ 求偏导：
    $\frac{\partial L}{\partial p_2} = 12 - 0.1p_2 = 0 \implies p_2 = 120.$

5. 验证极大值

Hessian矩阵为：
$H = \begin{bmatrix}-0.4 & 0 \\0 & -0.1\end{bmatrix}, \quad \det(H) = (-0.4)(-0.1) = 0.04 > 0,$
且主对角线元素均为负，说明 $(80, 120)$ 是极大值点。

6. 计算最大利润

代入 $p_1 = 80$ 和 $p_2 = 120$：
$L_{\text{max}} = 32(80) - 0.2(80)^2 + 12(120) - 0.05(120)^2 - 1395 = 605.$