用位移法计算图示刚架,列出典型方程,求出系数项及自由项。 EI= 常数。

位移法的核心思路是通过选择基本未知数（结点角位移和独立线位移），建立典型方程求解结构内力。本题的关键在于：

1. 确定基本未知数：根据刚架结构特点，选择刚结点的角位移θ为基本未知数；
2. 计算刚度系数k₁₁：通过单位载荷法或直接刚度法，计算角位移θ引起的反力；
3. 计算自由项F₁P：分析外荷载作用下结构的反力。

步骤1：确定基本未知数

假设刚架顶部存在刚结点，且无侧移（线位移为0），则基本未知数为角位移θ。

步骤2：计算刚度系数k₁₁

1. 施加单位角位移θ=1，使刚结点产生单位转动；
2. 计算各杆件的弯矩：
   • 柱：弯矩为$M = -EI \cdot \frac{dθ}{dx}$，积分后得柱端弯矩；
   • 梁：弯矩由转动引起，两端弯矩大小相等、方向相反；
3. 求总反力：将各杆件的弯矩叠加，得到角位移θ=1引起的反力，即k₁₁。

步骤3：计算自由项F₁P

1. 施加外荷载（如竖向荷载F）；
2. 计算荷载弯矩：通过静力平衡或叠加法，得到荷载作用下的弯矩分布；
3. 求总反力：将荷载弯矩与单位角位移弯矩叠加，积分求虚功，得到F₁P。

步骤4：建立典型方程

根据平衡条件，反力总和为0：
$k_{11}θ + F_{1P} = 0$