题目
一根长1米的绳子,质量均匀的软绳,挂在一半径很小的光滑木钉上,如图开始时bc=0.6,请问当bc=0.8米时,绳的加速度为:_____^8/m(取^8/m)^8/m
一根长1米的绳子,质量均匀的软绳,挂在一半径很小的光滑木钉上,如图开始时bc=0.6,请问当bc=0.8米时,绳的加速度为:_____
(取
)
题目解答
答案
设绳子的线密度为
,绳长为L，总质量为m，则
当右端绳子下降h高度时,只有重力做功，系统机械能守恒。以B点所在的水平面为重力零势能面，初始时刻的机械能为
下降h高度时的机械能为
由机械能守恒可得任意时刻的速度
再对t求导有
代入h=0.2m 可求得此时的加速度为
解析
步骤 1：定义变量和初始条件
设绳子的线密度为 $\lambda$，绳长为 $L=1$ 米，总质量为 $m$，则 $\lambda = \frac{m}{L} = m$。
初始时，bc=0.6 米，ac=0.4 米。
步骤 2：机械能守恒
以 B 点所在的水平面为重力零势能面，初始时刻的机械能为：
${E}_{1} = -0.6mg \cdot 0.3 - 0.4mg \cdot 0.2 = -0.26mg$
下降 h 高度时的机械能为：
${E}_{2} = \frac{1}{2}m{v}^{2} - (0.6+h)mg \cdot \frac{(0.6-h)}{2} - (0.4-h)mg \cdot \frac{(0.4-h)}{2}$
$= \frac{1}{2}m{v}^{2} - mg \cdot \frac{{(0.6+h)}^{2}}{2} - mg \cdot \frac{{(0.4-h)}^{2}}{2}$
由机械能守恒可得任意时刻的速度：
${v}^{2} = g{(0.6+h)}^{2} + g{(0.4-h)}^{2} + 0.52g$
步骤 3：求加速度
再对 t 求导有：
$2v \cdot a = 2(0.6+h)gv - 2(0.4-h)gv$
$a = (0.6+h)g - (0.4-h)g = 0.2g + 2gh$
代入 h=0.2 米，可求得此时的加速度为：
$a = 0.2g + 2g \cdot 0.2 = 0.2 \cdot 10 + 2 \cdot 10 \cdot 0.2 = 6m \cdot {s}^{-2}$
设绳子的线密度为 $\lambda$，绳长为 $L=1$ 米，总质量为 $m$，则 $\lambda = \frac{m}{L} = m$。
初始时，bc=0.6 米，ac=0.4 米。
步骤 2：机械能守恒
以 B 点所在的水平面为重力零势能面，初始时刻的机械能为：
${E}_{1} = -0.6mg \cdot 0.3 - 0.4mg \cdot 0.2 = -0.26mg$
下降 h 高度时的机械能为：
${E}_{2} = \frac{1}{2}m{v}^{2} - (0.6+h)mg \cdot \frac{(0.6-h)}{2} - (0.4-h)mg \cdot \frac{(0.4-h)}{2}$
$= \frac{1}{2}m{v}^{2} - mg \cdot \frac{{(0.6+h)}^{2}}{2} - mg \cdot \frac{{(0.4-h)}^{2}}{2}$
由机械能守恒可得任意时刻的速度：
${v}^{2} = g{(0.6+h)}^{2} + g{(0.4-h)}^{2} + 0.52g$
步骤 3：求加速度
再对 t 求导有：
$2v \cdot a = 2(0.6+h)gv - 2(0.4-h)gv$
$a = (0.6+h)g - (0.4-h)g = 0.2g + 2gh$
代入 h=0.2 米，可求得此时的加速度为：
$a = 0.2g + 2g \cdot 0.2 = 0.2 \cdot 10 + 2 \cdot 10 \cdot 0.2 = 6m \cdot {s}^{-2}$