题目

某2层钢筋混凝土框架结构，抗震设防烈度为7度（设计基本地震加速度为0.15g），设计地震分组为第二组，Ⅱ类场地，各楼层重力荷载代表值：G_1=G_2=700mathrm(KN)。假设结构各阶振型阻尼比均为0.05，结构的自振周期：T_1=0.315mathrm(s)，T_2=0.158mathrm(s)，振型向量：X_1=} X_(11) X_(12) 按振型分解反映谱法计算该结构在多遇地震作用下的层间剪力。

某2层钢筋混凝土框架结构，抗震设防烈度为7度（设计基本地震加速度为$0.15g$），设计地震分组为第二组，Ⅱ类场地，各楼层重力荷载代表值：$G_1=G_2=700\mathrm{KN}$。假设结构各阶振型阻尼比均为0.05，结构的自振周期：$T_1=0.315\mathrm{s}$，$T_2=0.158\mathrm{s}$，振型向量：$X_1=\begin{cases} X_{11} \\ X_{12} \end{cases}=\begin{cases} 0.408 \\ 1.0 \end{cases}$，$X_2=\begin{cases} X_{21} \\ X_{22} \end{cases}=\begin{cases} -0.795 \\ 1.0 \end{cases}$

按振型分解反映谱法计算该结构在多遇地震作用下的层间剪力。

题目解答

答案

根据题目条件，地震影响系数为： \[ \alpha_1 = \alpha_2 = 0.1275 \] 振型参与系数为： \[ \Gamma_1 \approx 1.206, \quad \Gamma_2 \approx 0.1256 \] 各振型的地震作用为： \[ F_{11} \approx 43.95 \, \text{kN}, \quad F_{21} \approx 107.6 \, \text{kN} \] \[ F_{12} \approx -8.93 \, \text{kN}, \quad F_{22} \approx 11.2 \, \text{kN} \] 层间剪力为： \[ V_{11} = 151.55 \, \text{kN}, \quad V_{21} = 107.6 \, \text{kN} \] \[ V_{12} = 2.27 \, \text{kN}, \quad V_{22} = 11.2 \, \text{kN} \] 最终结果： \[ V_1 = \sqrt{(151.55)^2 + (2.27)^2} \approx 151.6 \, \text{kN} \] \[ V_2 = \sqrt{(107.6)^2 + (11.2)^2} \approx 108.2 \, \text{kN} \] 答案：$V_1 \approx 151.6 \, \text{kN}$，$V_2 \approx 108.2 \, \text{kN}$。

解析

本题考查钢筋混凝土框架结构在多遇地震作用下，按振型分解反应谱法计算层间剪力的知识。解题思路如下：

  1. 确定地震影响系数：根据抗震设防烈度、设计基本地震加速度、设计地震分组和场地类别，查《建筑抗震设计规范》（GB 50011 - 2010）（2016 年版）中的地震影响系数曲线确定特征周期 $T_g$，再根据自振周期 $T$ 计算地震影响系数 $\alpha$。
    • 对于 7 度（设计基本地震加速度为 $0.15g$），设计地震分组为第二组，Ⅱ类场地，查规范可得特征周期 $T_g = 0.40s$。
    • 地震影响系数 $\alpha$ 的计算公式为：
      • 当 $T \leq T_g$ 时，$\alpha = (\frac{T_g}{T})^{\gamma} \eta_2 \alpha_{max}$；
      • 当 $T_g < T \leq 5T_g$ 时，$\alpha = \eta_2 \alpha_{max}$；
      • 当 $T > 5T_g$ 时，$\alpha = (\frac{T}{5T_g})^{\beta} \eta_2 \alpha_{max}$。
        其中，$\alpha_{max}$ 为水平地震影响系数最大值，7 度时 $\alpha_{max}=0.12$；$\gamma$ 为衰减指数，取 $\gamma = 0.9$；$\eta_2$ 为阻尼调整系数，取 $\eta_2 = 1.0$；$\beta$ 为直线下降段的衰减指数，取 $\beta = -0.8$。
    • 对于 $T_1 = 0.315s < T_g = 0.40s$，则：
      $\alpha_1 = (\frac{T_g}{T_1})^{\gamma} \eta_2 \alpha_{max}=(\frac{0.40}{0.315})^{0.9} \times 1.0 \times 0.12 \approx 0.1275$
    • 对于 $T_2 = 0.158s < T_g = 0.40s$，则：
      $\alpha_2 = (\frac{T_g}{T_2})^{\gamma} \eta_2 \alpha_{max}=(\frac{0.40}{0.158})^{0.9} \times 1.0 \times 0.12 \approx 0.1275$
  2. 计算振型参与系数：振型参与系数 $\Gamma_j$ 的计算公式为 $\Gamma_j=\frac{\sum_{i = 1}^{n}G_iX_{ji}}{\sum_{i = 1}^{n}G_iX_{ji}^2}$，其中 $G_i$ 为第 $i$ 层重力荷载代表值，$X_{ji}$ 为第 $j$ 振型第 $i$ 层的振型坐标。
    • 对于第一振型：
      $\Gamma_1=\frac{G_1X_{11}+G_2X_{12}}{G_1X_{11}^2 + G_2X_{12}^2}=\frac{700\times0.408 + 700\times1.0}{700\times0.408^2+700\times1.0^2}=\frac{700\times(0.408 + 1.0)}{700\times(0.408^2 + 1.0^2)}=\frac{1.408}{0.408^2 + 1.0^2}\approx1.206$
    • 对于第二振型：
      $\Gamma_2=\frac{G_1X_{21}+G_2X_{22}}{G_1X_{21}^2 + G_2X_{22}^2}=\frac{700\times(-0.795)+700\times1.0}{700\times(-0.795)^2+700\times1.0^2}=\frac{700\times(-0.795 + 1.0)}{700\times((-0.795)^2 + 1.0^2)}=\frac{0.205}{0.795^2 + 1.0^2}\approx0.1256$
  3. 计算各振型的地震作用：各振型第 $i$ 层的地震作用 $F_{ji}$ 的计算公式为 $F_{ji}=\alpha_j\Gamma_jG_iX_{ji}$。
    • 第一振型：
      • 第 1 层：$F_{11}=\alpha_1\Gamma_1G_1X_{11}=0.1275\times1.206\times700\times0.408\approx43.95kN$
      • 第 2 层：$F_{12}=\alpha_1\Gamma_1G_2X_{12}=0.1275\times1.206\times700\times1.0\approx107.6kN$
    • 第二振型：
      • 第 1 层：$F_{21}=\alpha_2\Gamma_2G_1X_{21}=0.1275\times0.1256\times700\times(-0.795)\approx - 8.93kN$
      • 第 2 层：$F_{22}=\alpha_2\Gamma_2G_2X_{22}=0.1275\times0.1256\times700\times1.0\approx11.2kN$
  4. 计算各振型的层间剪力：各振型第 $i$ 层的层间剪力 $V_{ji}$ 等于该振型第 $i$ 层及以上各层地震作用之和。
    • 第一振型：
      • 第 1 层：$V_{11}=F_{11}+F_{12}=43.95 + 107.6 = 151.55kN$
      • 第 2 层：$V_{21}=F_{12}=107.6kN$
    • 第二振型：
      • 第 1 层：$V_{12}=F_{21}+F_{22}=-8.93 + 11.2 = 2.27kN$
      • 第 2 层：$V_{22}=F_{22}=11.2kN$
  5. 计算总层间剪力：总层间剪力 $V_i$ 等于各振型层间剪力的平方和开方，即 $V_i=\sqrt{\sum_{j = 1}^{m}V_{ji}^2}$，这里 $m$ 为参与组合的振型个数，取 $m = 2$。
    • 第 1 层：$V_1=\sqrt{V_{11}^2+V_{12}^2}=\sqrt{151.55^2 + 2.27^2}\approx151.6kN$
    • 第 2 层：$V_2=\sqrt{V_{21}^2+V_{22}^2}=\sqrt{107.6^2 + 11.2^2}\approx108.2kN$