第六章习题6—1用积分法求以下各梁的转角方程、挠曲线方程以及指定的转角和挠度。已知抗弯刚度EI为常数。6-2、用积分法求以下各梁的转角方程、挠曲线方程以及指定的转角和挠度。已知抗弯刚度EI为常数。(b)任意截面上的弯矩为:挠曲线的微分方程:积分得(1)(2)在固定端B当x=0时将边界条件代入(1)、(2)中,得:C=D=0再将所得积分常数C和D代回(1)、(2)式,得转角方程和挠曲线方程以截面C的横坐标x=l/2代入以上两式,得截面C的转角和挠度分别为(c)求支座反力:=0选取如图坐标,任意截面上的弯矩为:挠曲线的微分方程为:积分得:(1)(2)铰支座上的挠度等于零,故x=0时因为梁上的外力和边界条件都对跨度中点对称,挠曲线也对该点对称。因此,在跨度中点,挠曲线切线的斜率截面的转角都应等于零,即x=时=0分别代入(1)、(2)式,得,D=0以上两式代入(1)(2)得当x=0时,当x=l/2时,6-2解:AC段,(d)、解:取坐标系如图。(1)、求支坐反力、列弯矩方程支座反力,A. B段, B. C段, C. (2)列梁挠曲线近似微分方程并积分 D. B段, E. C段, F. (3)确定积分常数 G. 利用边界条件:处,,代入上面式中,得,处,,再代入式中,得处,,由和式可得。处,,代入式中,得(4)转角方程和挠度方程B段,C段,最后指出,列弯矩方程时,不变,也可取截面右侧的载荷列出,,这样可使计算大为简化。计算转角左、右集中力P分别为和表示集中力作用下引起的转角,集中力作用下引起的转角,所以(1)计算挠度集中力作用下引起的挠度,集中力作用下引起的挠度所以答(b),(1)计算转角力偶作用下引起的转角P作用下引起的转角所以(2)、计算挠度力偶作用下引起的挠度P作用下引起的转角所以回答,,解答:P作用下引用的转角力偶作用下引起的转角所以P作用下引起的挠度力偶作用下引起的挠度所以6-5回答:6-6解:(1)选择截面采用迭加法可求得最大弯矩由正应力强度条件可得(2)校核刚度采用迭加法可求得最大挠度计算可知,此钢梁的刚度够。6-7答:6-8答:端固定,端为滑动轴承,所以BC杆可饶AB杆的轴线端挠度由二部分组成;(1)把BC杆当作悬臂梁,受P作用于C端产生的挠度,;(2)AB杆受扭锻又产生了挠度,。最后,可得端的挠度6-11答:(b)提示:题(c)在固定端处,除有反力偶及竖直反力外,还有水平反力,此梁是一次静不定梁。可以解除支,选择反力作多余反力,建立补充方程求解。答:答(d),在固定端。6-12答:在距离两端的处。6-13答:(1)二者误差百分比为2.73%6-14解:(1)计算约束反力根据在加固处两个悬臂梁的挠度相等这个变形条件,来计算约束反力。即可得(2)比较最大弯矩没有加固梁时,有加固时,B加固后,最大弯矩可减少一半。(3)比较最大挠度没有加固梁时,有加固时,B在右端的最大挠度要减少6-15解:B轴上的外力B轴上的外力偶矩B轴的左右齿轮上的切向力为B轴上的约束反力B轴是一次静不定梁,取静定基如图(b),变形条件为而代入有关数据,再代回变形条件中,可得由平衡条件,(3)作弯矩图B轴的弯矩图如图(c)。6-3、用叠加法求图示各梁中指定截面的挠度和转角。已知梁的抗弯刚I为常数。C段的惯性矩为CB段的二倍。用积分端的转角以及挠度。6-5一齿轮轴受力如图所示。已知:=100mm,b=200mm,c=150mm,l=300mm;材料的弹性模量E=210Pa;轴在[]d。近似的设全轴的直径均为d=60mm,试校核轴的刚度。回答:Kn/m,集中载荷P=20Kn,梁[]=160Ma,梁的许[]=。试选择槽钢的号码,并校核其刚度。梁的自重忽略不计。=114m。m壁厚=4mm,单位长度重量N/m,材料的弹性模量E=210Gpa。设管道的许用挠度试确定管道的最大跨度。号工字钢的简支梁,跨长l=10m,材料的弹性模量E-210Gpa。若梁的最大挠度不得超过,求梁所能承受的布满全梁的最大均布载荷q。B段横截面为圆形,BC段为矩形,A段固定,段为滑动轴承。端作用一集中力P=60N。有关尺寸如=210Gpa,剪切弹性模量G=0.4E。试求C端的挠度。端固定,端为滑动轴承,所以BC杆可饶AB杆的轴端挠度由二部分组成;(1)把BC杆当作悬臂梁,受P作用于C端产生的挠度,;(2)AB杆受锻又产生了挠度,。最后,可得端的挠度C梁中处作用的力P,已知,=210Gpa。试问当百指针转动一小格(1/100mm)时,载荷P增加多少?6-11试求以下各梁的支反力,并做弯矩图。由图可见有三个支反力,但在平面能够力系中,只可列出二个静力平衡方程,可知此梁是静不定梁问题。(1)选取静定基,建立变形条件,选取静定基如图(b),变形条件为(2)计算变形(3)建立补充方程,解出多余反力利用变形条件,可得补充方程算出中间支座的反力,(4)由平衡条件求其他支座反力因为此梁的载荷和结构有对称性,可知(5)作弯矩图如图c)在中间支座处6-12加热炉内的水管横梁,支持在三个支点上,承受纵管传来的钢锭载处的反力。并作横梁的弯矩图。提示:横管简化成三支点的静不定梁。=220GPa,试问(1)按图方式加工时,因工件而引起的直径误差是多少?(2)如在工件自由端加上顶尖后,按车刀行至工作中点时考虑(b),这时因工件变形而引起的直径误差又是多少?(3)二者误差的百分比如何?情形可简化成在右端作用一集中力P的静定是悬臂梁,(b)情形可简化成左端固定右端简支的静不定梁,在中点作P。计算直径的误差时,应是所求得挠度的二倍。B因强度和刚度不足,用同材料同截面的一根短梁A加固,如图所示。问(1)支座C处的反力为多B的最大弯矩和最大挠度要比没有梁AC支撑时减少多少?B,已知传动功率,转速轮为主动轮。若仅考虑齿轮切向力的影响,试求此轴的弯矩图。参考答案挠曲线微分方程为:积分得:(1)(2),转角和挠度均应等于零,即:当x=0时,;把边界条件代入(1),(2)得=0=0再将所得积分常数(3)(4)点处转角和挠度x=l时代入(3),(4)

AB 段， BC 段， (2) 列梁挠曲线近似微分方程并积分 AB 段， BC 段， （ 3 ）确定积分常数 利用边界条件： 处，，代入上面式中，得， 处，，再代入式中，得 处，，由和式可得。 处，，代入式中，得 word/media/image13.jpeg （ 4 ）转角方程和挠度方程 AB 段， BC 段， 最后指出，列弯矩方程时，不变，也可取截面右侧的载荷列 出，，这样可使计算大为简化。 6-3 、（ a ）计算转角左、右集中力 P 分别为和表示集中力 作用下引起的转角， 集中力作用下引起的转角， 所以 （ 1 ）计算挠度 集中力作用下引起的挠度， 集中力作用下引起的挠度 word/media/image14.jpeg 所以 答（ b ） ， （ c ） (1) 计算转角 力偶作用下引起的转角 力 P 作用下引起的转角 所以 （ 2 ）、计算挠度 力偶作用下引起的挠度 力 P 作用下引起的转角 所以 回答 word/media/image15.jpeg (d), (e), (f) （ 1 计算转角力 P 作用下引用的转角 力偶作用下引起的转角 所以 （ 2 计算挠度力 P 作用下引起的挠度 力偶作用下引起的挠度 所以 6-5 回答： 6-6 （ 1 ）选择截面 采用迭加法可求得最大弯矩 word/media/image16.jpeg 由正应力强度条件可得 （ 2 ）校核刚度 采用迭加法可求得最大挠度 计算可知，此钢梁的刚度够。 6-7 答： 6-8 答： 6-9 提示：由于 A 端固定， B 端为滑动轴承，所以 BC 杆可饶 AB 杆的轴线 转动。 C 端挠度由二部分组成；（ 1 ）把 BC 杆当作悬臂梁，受 集中力 P 作用于 C 端产生的挠度，；（ 2 ） AB 杆受扭 转在 C 锻又产生了挠度，。最后，可得 C 端的挠度 6-11 答：（ b ） 提示：题（ c ）在固定端处，除有反力偶及竖直反力外，还有水平 反力，此梁是一次静不定梁。可以解除支 座 B ，选择反力作多余反力，建立补充方程求解。 答： 答（ d ），在 固定端。 word/media/image17.jpeg 6-12 答：在距离两端的处。 6-13 答：（１） 二者误差百分比为 ２ . ７３％ ６－１ 4 （ 1 ）计算约束反力 根据在加固处两个悬臂梁的挠度相等这个变形条件，来计算约束反 力。即 可得 （ 2 ）比较最大弯矩 没有加固梁时， 有加固时， 比较可知，梁 AB 加固后，最大弯矩可减少一半。 （ 3 ）比较最大挠度 没有加固梁时， 有加固时， 经加固后，梁 AB 在右端的最大挠度要减少 6-15 word/media/image18.jpeg （ 1 ）计算 AB 轴上的外力 AB 轴上的外力偶矩 作用于 AB 轴的左右齿轮上的切向力为 （ 2 ）求 AB 轴上的约束反力 AB 轴是一次静不定梁，取静定基如图（ b ） , 变形条件为 而 代入有关数据，再代回变形条件中，可得 由平衡条件， （ 3 ）作弯矩图 AB 轴的弯矩图如图（ c ）。 word/media/image2.jpeg 6-3 、用叠加法求图示各梁中指定截面的挠度和转角。 已知梁的抗弯刚 读 EI 为常数。 6-4 阶梯形悬臂梁如图所示， AC 段的惯性矩为 CB 段的二倍。用积分 法求 B 端的转角以及挠度。 6-5 一齿轮轴受力如图所示。已知： a=100mm,b=200mm,c=150mm,l=300mm; 材料的弹性模量 E=210Pa; 轴在 轴承处的许用转角 [] word/media/image3.jpeg =0.005rad 。近似的设全轴的直径均为 d=60mm, 试校核轴的刚度。 回答： 6-6 一跨度为 4m 的简支梁，受均布载荷 q=10Kn/m, 集中载荷 P=20Kn, 梁 由两个槽钢组成。设材料的许用应力 []=160Ma, 梁的许 用挠度 []= 。试选择槽钢的号码，并校核其刚度。梁的自重忽略 不计。 6-7 两端简支的输气管道，外径 D=114m 。 m 壁厚 =4mm, 单位长度重量 q=106N/m, 材料的弹性模量 E=210Gpa 。设管道的许用挠度 试确定管道的最大跨度。 6-845a 号工字钢的简支梁，跨长 l=10m, 材料的弹性模量 E-210Gpa 。若 梁的最大挠度不得超过，求梁所能承受的布满全梁的 word/media/image4.jpeg 最大均布载荷 q 。 6-9 一直角拐如图所示， AB 段横截面为圆形， BC 段为矩形， A 段固定， B 段为滑动轴承。 C 端作用一集中力 P=60N 。有关尺寸如 图所示。材料的弹性模量 E=210Gpa, 剪切弹性模量 G=0.4E 。试求 C 端 的挠度。 提示：由于 A 端固定， B 端为滑动轴承，所以 BC 杆可饶 AB 杆的轴 线转动。 C 端挠度由二部分组成；（ 1 ）把 BC 杆当作悬臂梁，受 集中力 P 作用于 C 端产生的挠度，；（ 2 ） AB 杆受 扭转在 C 锻又产生了挠度，。最后，可得 C 端的挠度 6-10 、以弹性元件作为测力装置的实验如图所示，通过测量 BC 梁中 点的挠度来确定卡头 A 处作用的力 P ，已知 , 梁截面宽 b=60mm, 高 h=40mm, 材料的弹性模量 E=210Gpa 。试问当百 分表 F 指针转动一小格（ 1/100mm ）时，载荷 P 增加多少？ word/media/image5.jpeg 6-11 试求以下各梁的支反力，并做弯矩图。 由图可见有三个支反力，但在平面能够力系中，只可列出二个静力平 衡方程，可知此梁是静不定梁问题。 word/media/image6.jpeg （ 1 ）选取静定基，建立变形条件 假想解除多余约束 C ，选取静定基如图（ b ），变形条件为 （ 2 ）计算变形 （ 3 ）建立补充方程，解出多余反力 利用变形条件，可得补充方程 算出中间支座的反力， （ 4 ）由平衡条件求其他支座反力 word/media/image7.jpeg 因为此梁的载荷和结构有对称性，可知 （ 5 ）作弯矩图如图 c) 在中间支座处 6-12 加热炉内的水管横梁，支持在三个支点上，承受纵管传来的钢锭载 荷。求 A 、 B 、 C 处的反力。并作横梁的弯矩图。 提示：横管简化成三支点的静不定梁。 6-13 在车床加工工件，已知工件的弹性模量 E=220GPa, 试问（ 1 ）按图 （ a ）方式加工时，因工件而引起的直径误差是多少？ （ 2 ）如在工件自由端加上顶尖后，按车刀行至工作中点时考虑（ b ）， 这时因工件变形而引起的直径误差又是多少？（ 3 ）二 者误差的百分比如何？ 提示：（ a ）情形可简化成在右端作用一集中力 P 的静定是悬臂梁，（ b ） 情形可简化成左端固定右端简支的静不定梁，在中点作 用一集中力Ｐ。计算直径的误差时，应是所求得挠度的二倍。 word/media/image8.jpeg ６－１ 4 、悬臂梁ＡＢ因强度和刚度不足， 用同材料同截面的一根短梁Ａ Ｃ加固，如图所示。问（１）支座Ｃ处的反力为多 少？（２）梁ＡＢ的最大弯矩和最大挠度要比没有梁 A Ｃ支撑时减 少多少？ 6-15 、图示 一铣床齿 轮轴 AB ， 已知 传动功率 ，转速 n=230rpm,D 轮为主动轮。若仅考虑齿轮切向力的影响，试求此 轴的弯矩图。 word/media/image9.jpeg 参考答案 6 — 1 (a) 挠曲线微分方程为： 积分得： （ 1 ） （ 2 ） 在固定端 A ，转角和挠度均应等于零，即： 当 x=0 时，； 把边界条件代入（ 1 ），（ 2 ）得 C=0 D=0 再将所得积分常数 （ 3 ） （ 4 ） 求 B 点处转角和挠度 x=l 时代入（ 3 ），（ 4 ）