题目

已知矩形截面简支梁，跨中截面尺寸b=200(mm)，h=450(mm)，混凝土强度等级为C30，纵筋采用HRB400级钢筋，承受弯矩设计值M=80(kN)cdot(m)。构件环境类别为一类，构件安全等级为二级，试计算该截面所需纵向受拉钢筋面积。

已知矩形截面简支梁，跨中截面尺寸$b=200\text{mm}$，$h=450\text{mm}$，混凝土强度等级为C30，纵筋采用HRB400级钢筋，承受弯矩设计值$M=80\text{kN}\cdot\text{m}$。构件环境类别为一类，构件安全等级为二级，试计算该截面所需纵向受拉钢筋面积。

题目解答

答案

根据题目条件，$ h_0 = 420 \, \text{mm} $。由 $ \alpha_s = \frac{M}{f_c b h_0^2} = \frac{80 \times 10^6}{14.3 \times 200 \times 420^2} \approx 0.1586 $，得 $ \xi = 0.174 $，$ x = 73 \, \text{mm} $。 \[ A_s = \frac{f_c b x}{f_y} = \frac{14.3 \times 200 \times 73}{360} \approx 580 \, \text{mm}^2 \] 最小配筋率 $ \rho_{\min} = 0.2\% $，实际 $ \rho = 0.69\% > \rho_{\min} $，满足要求。 最终结果：$ A_s \approx 580 \, \text{mm}^2 $。

解析

本题考查矩形截面简支梁纵向受拉钢筋面积的计算，解题思路如下如下：

  1. 确定相关参数参数：**
    • 首先根据混凝土强度等级C30，查得混凝土轴心抗压强度设计值$f_c = 14.43N/mm^2=14.3N/mm^2$；纵筋采用HRB400级钢筋，查得钢筋抗拉强度设计值$f_y = 360N/mm^2$。
    • 对于一类环境，梁的混凝土保护层厚度\要求规定，保护层厚度$c = 20mm$，假设箍筋直径$d = 8mm$，纵筋合力点至截面近边缘的距离$a_s = c+\frac{d}{2}=20 + \frac{8}{2}=24mm$，则有效高度$h_0=h - a_s=450 - 30 = 420mm$。
  2. 计算相对受压区高度系数$\alpha_s$：
    • 根据单筋矩形截面受弯构件正截面设计的基本公式$M = \alpha_1f_cbh_0^2\alpha_s$（本题$\alpha_1 = 1$），可得$\alpha_s=\frac{M}{f_cbh_0^2}$。
    • 已知$已知\(M = 80kN\cdot m=80\times10^6N\cdot mm$，$f_c = 14.3N/mm^2$，$b = 200mm$，$h_0 = 420mm$，代入可得：
      $\alpha_s=\frac{M}{f_cbh_0^2}=\frac{80\times 10^6}{14.3\times200\times420^2}\approx0.1586$
  3. **计算相对受压区高度$\xi$：
    • 由$\alpha_s=\xi(1 - 0.5\xi)$ = 0.1586)，这是一个关于$\xi$的一元二次方程，即$0.5\xi^2-\xi + 0.1586 = 0$。
    • 根据一元二次方程$ax^2+bx + c = 0$的求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}}{2a}$，这里$a = 0.5$，$b=-1$，$c = 0.1586$，可得：
      $\xi=\frac{1\pm\sqrt{1^2-4\times0.5\times0.1586}}{2\times0.5}=\frac{1\pm\sqrt{1 - 0.3172}}{1}=\frac{1\pm\sqrt{0.6888}}{1}$
      取较小值$\xi=\frac{1-\sqrt{0.6888}}{1}\approx0.174$。
  4. **计算受压区高度\(x**： - 根据$\xi=\frac{x}{h_0}$，可得$x=\xi h_0$。
    • 已知$\xi = 0.174$，$h_0 = 420mm$，则$x = 0.174\times420 = 73.08mm\approx73mm$。
  5. 计算纵向受拉钢筋面积$A_s$：
    • 根据力的平衡条件$f_yA_s=\alpha_1f_cbx$，可得$A_s=\frac{\alpha_1f_cbx}{f_y}$。
    • 已知$\alpha_1 = 1$，$f_c = 14.3N/mm^2$，$b = 200mm$，$x = 73mm$，$f_y = 360N/mm^2$，代入可得：
      $A_s=\frac{14.3\times200\times73}{360}\approx580mm^2$
  6. 验算最小配筋率：
    • 最小配筋率$\rho_{\min}=0.2\%$。
    • 实际配筋率$\rho=\frac{A_s}{bh_0}=\frac{580}{200\times420}\approx0.69\%$。
    • 因为$\rho = 0.69\%>\rho_{\min}=0.2\%$，满足最小配筋率要求。