题目

无重水平梁的支承和载荷如图7所示。已知均布载荷q,求固定端A和滚动铰支座C处的约束力。q-|||-AA B-|||-C-|||-a-|||-图7

无重水平梁的支承和载荷如图7所示。已知均布载荷q,求固定端A和滚动铰支座C处的约束力。

题目解答

答案

对整个梁进行受力分析：

均布载荷可以等效为一个集中力，其大小为 Q = qa ，作用在梁的中点。

设固定端 A 处的约束力为 $A_x（水平方向）、A_y（竖直方向）和弯矩M_A$ ，滚动铰支座 C 处的约束力为 $C_y（竖直方向）$ 。

对 A 点取矩，根据力矩平衡：

$\begin{align*} \sum M_A &= 0\\ Q\times\frac{a}{2} - C_y \times a &= 0\\ qa\times\frac{a}{2} - C_y \times a &= 0\\ \frac{1}{2}qa - C_y &= 0\\ C_y &= \frac{1}{2}qa \end{align*}$

根据竖直方向力的平衡：

$\begin{align*} \sum F_y &= 0\\ A_y + C_y - Q &= 0\\ A_y + \frac{1}{2}qa - qa &= 0\\ A_y &= \frac{1}{2}qa \end{align*}$

水平方向没有其他力，所以 $A_x=0$ .

解析

考查要点：本题主要考查静力学中梁的约束力计算，涉及均布载荷的等效转换、力的平衡方程及力矩平衡方程的应用。

解题核心思路：

均布载荷等效转换：将均布载荷转换为等效集中力，简化受力分析。
受力分析与平衡方程：通过取矩消去未知力，利用力矩平衡求解支座反力，再结合竖直方向力的平衡求解其他反力。

破题关键点：

选择合适取矩点：对固定端A取矩，消除水平反力$A_x$和竖直反力$A_y$的力矩，简化计算。
正确应用平衡方程：竖直方向力的平衡方程需包含等效集中力和支座反力。

步骤1：受力分析与等效转换

均布载荷$q$作用于梁的AB段（长度为$a$），等效为集中力$Q = qa$，作用于AB段中点（距离A点$\dfrac{a}{2}$）。
固定端A的约束力为$A_x$（水平）、$A_y$（竖直）、弯矩$M_A$；滚动支座C的约束力为$C_y$（竖直）。

步骤2：力矩平衡方程（对A点取矩）

等效集中力$Q$对A点的力矩：$Q \cdot \dfrac{a}{2}$。
支座反力$C_y$对A点的力矩：$C_y \cdot a$。
力矩平衡方程：
$Q \cdot \dfrac{a}{2} - C_y \cdot a = 0$
代入$Q = qa$，解得：
$C_y = \dfrac{1}{2}qa$

步骤3：竖直方向力的平衡

竖直方向平衡方程：
$A_y + C_y - Q = 0$
代入$C_y = \dfrac{1}{2}qa$和$Q = qa$，解得：
$A_y = \dfrac{1}{2}qa$

步骤4：水平方向力的平衡

水平方向无外力，故：
$A_x = 0$