某承包商经研究决定参与某工程投标。经造价工程师估价，该工程估算成本为1500万元，其中材料费占60%。拟高、中、低三个报价方案的利润率分别为10%、7%、4%，根据过去类似工程的投标经验，相应的中标概率分别为0.3、0.6、0.9。编制投标文件的费用为5万元。该工程业主在招标文件中明确规定采用固定总价合同。据估计，在施工过程中材料费可能平均上涨3%，其发生概率为0.4。【问题】该承包商应按哪个方案投标?相应的报价为多少?

关键思路：本题属于投标决策问题，需通过决策树法计算各方案的期望利润，选择最优方案。核心步骤包括：

1. 计算各方案在材料涨价/不涨价情况下的利润；
2. 构建决策树，考虑中标概率和材料价格波动概率；
3. 计算各机会点的期望值，比较后选择期望利润最大的方案。

破题关键：

• 材料涨价导致成本增加，需从利润中扣除涨价部分；
• 固定总价合同下，承包商需承担材料涨价风险；
• 期望值计算需逐层向后折现，最终比较各初始方案的期望值。

1. 计算各投标方案的利润

高标（利润率10%）

• 材料不涨价：利润 = $1500 \times 10\% = 150$ 万元
• 材料涨价：利润 = $150 - 1500 \times 60\% \times 3\% = 123$ 万元

中标（利润率7%）

• 材料不涨价：利润 = $1500 \times 7\% = 105$ 万元
• 材料涨价：利润 = $105 - 1500 \times 60\% \times 3\% = 78$ 万元

低标（利润率4%）

• 材料不涨价：利润 = $1500 \times 4\% = 60$ 万元
• 材料涨价：利润 = $60 - 1500 \times 60\% \times 3\% = 33$ 万元

2. 构建决策树并计算期望值

高标节点（点②）

• 材料价格分支期望值：
  $150 \times 0.6 + 123 \times 0.4 = 139.2$ 万元
• 中标与不中标期望值：
  $139.2 \times 0.3 - 5 \times 0.7 = 38.26$ 万元

中标节点（点③）

• 材料价格分支期望值：
  $105 \times 0.6 + 78 \times 0.4 = 94.2$ 万元
• 中标与不中标期望值：
  $94.2 \times 0.6 - 5 \times 0.4 = 54.52$ 万元

低标节点（点④）

• 材料价格分支期望值：
  $60 \times 0.6 + 33 \times 0.4 = 49.2$ 万元
• 中标与不中标期望值：
  $49.2 \times 0.9 - 5 \times 0.1 = 43.78$ 万元

3. 最终决策

• 高标期望值：38.26 万元
• 中标期望值：54.52 万元（最大）
• 低标期望值：43.78 万元

结论：选择中标的方案，其期望利润最高。