题目
19.某产品的产量依赖于两种生产要素投人量,当两种生产要素投入量依次为-|||-x,y时,产量为 =20-(x)^2+10x-2(y)^2+5y .已知两种生产要素单价依次为1和2,-|||-产品的单价为求x,y为何值时,所获得的利润最大?
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定利润函数
利润函数 $w$ 可以表示为销售收入减去成本。销售收入为 $5z$，成本为 $x + 2y$。因此，利润函数为 $w = 5z - x - 2y$。将 $z$ 的表达式代入，得到 $w = 5(20 - x^2 + 10x - 2y^2 + 5y) - x - 2y$。
步骤 2：化简利润函数
化简上述表达式，得到 $w = 100 - 5x^2 + 49x - 10y^2 + 23y$。
步骤 3：求利润函数的极值
为了找到利润函数的极值，我们需要求解 $w$ 对 $x$ 和 $y$ 的偏导数，并令它们等于零。即求解 $\frac{\partial w}{\partial x} = 0$ 和 $\frac{\partial w}{\partial y} = 0$。
步骤 4：求解偏导数
对 $x$ 求偏导数，得到 $\frac{\partial w}{\partial x} = -10x + 49$。对 $y$ 求偏导数，得到 $\frac{\partial w}{\partial y} = -20y + 23$。
步骤 5：求解方程组
令 $\frac{\partial w}{\partial x} = 0$ 和 $\frac{\partial w}{\partial y} = 0$，得到方程组 $-10x + 49 = 0$ 和 $-20y + 23 = 0$。解这个方程组，得到 $x = 4.9$ 和 $y = 1.15$。
步骤 6：验证极值点
为了验证 $(x, y) = (4.9, 1.15)$ 是极大值点，我们需要计算二阶偏导数，并验证海森矩阵的符号。计算得到 $A = \frac{\partial^2 w}{\partial x^2} = -10$，$B = \frac{\partial^2 w}{\partial x \partial y} = 0$，$C = \frac{\partial^2 w}{\partial y^2} = -20$。海森矩阵的行列式为 $AC - B^2 = (-10)(-20) - 0^2 = 200 > 0$，且 $A < 0$，因此 $(x, y) = (4.9, 1.15)$ 是极大值点。
利润函数 $w$ 可以表示为销售收入减去成本。销售收入为 $5z$，成本为 $x + 2y$。因此，利润函数为 $w = 5z - x - 2y$。将 $z$ 的表达式代入，得到 $w = 5(20 - x^2 + 10x - 2y^2 + 5y) - x - 2y$。
步骤 2：化简利润函数
化简上述表达式，得到 $w = 100 - 5x^2 + 49x - 10y^2 + 23y$。
步骤 3：求利润函数的极值
为了找到利润函数的极值，我们需要求解 $w$ 对 $x$ 和 $y$ 的偏导数，并令它们等于零。即求解 $\frac{\partial w}{\partial x} = 0$ 和 $\frac{\partial w}{\partial y} = 0$。
步骤 4：求解偏导数
对 $x$ 求偏导数，得到 $\frac{\partial w}{\partial x} = -10x + 49$。对 $y$ 求偏导数，得到 $\frac{\partial w}{\partial y} = -20y + 23$。
步骤 5：求解方程组
令 $\frac{\partial w}{\partial x} = 0$ 和 $\frac{\partial w}{\partial y} = 0$，得到方程组 $-10x + 49 = 0$ 和 $-20y + 23 = 0$。解这个方程组，得到 $x = 4.9$ 和 $y = 1.15$。
步骤 6：验证极值点
为了验证 $(x, y) = (4.9, 1.15)$ 是极大值点，我们需要计算二阶偏导数，并验证海森矩阵的符号。计算得到 $A = \frac{\partial^2 w}{\partial x^2} = -10$，$B = \frac{\partial^2 w}{\partial x \partial y} = 0$，$C = \frac{\partial^2 w}{\partial y^2} = -20$。海森矩阵的行列式为 $AC - B^2 = (-10)(-20) - 0^2 = 200 > 0$，且 $A < 0$，因此 $(x, y) = (4.9, 1.15)$ 是极大值点。