1-36(清华土力学习题5-2)对一干砂试样进行直接剪切试验,在法向应力=96.6kPa时测得破坏剪应力τ-67.7kPa:试求:①该砂土的内摩擦角;②破坏时剪切面上土体单元的最大主应力和最小主应力的大小和作用方向解:①砂土的内摩擦角q= arcta677②摩尔应力圆的半82.67kcos() cos(35圆心坐标tanφ=96.6+67.7xtan(35.029)=144.04kPa

考查要点：本题主要考查直接剪切试验中内摩擦角的计算，以及利用摩尔应力圆确定破坏时的最大主应力和最小主应力。

解题核心思路：

1. 内摩擦角：根据直接剪切试验的公式 $\tau = \sigma \tan \varphi$，通过剪应力 $\tau$ 和法向应力 $\sigma$ 直接计算。
2. 主应力计算：通过摩尔应力圆的几何关系，确定圆心坐标和半径，进而求出最大主应力 $\sigma_1$ 和最小主应力 $\sigma_3$。

破题关键点：

• 公式选择：明确直接剪切试验与内摩擦角的关系，以及摩尔应力圆的几何性质。
• 方向判断：最大主应力作用方向与剪切面夹角为 $45^\circ - \frac{\varphi}{2}$，最小主应力方向与之垂直。

① 内摩擦角的计算

根据直接剪切试验公式：
$\tau = \sigma \tan \varphi$
变形得：
$\varphi = \arctan \left( \frac{\tau}{\sigma} \right)$
代入 $\tau = 67.7 \, \text{kPa}$，$\sigma = 96.6 \, \text{kPa}$：
$\varphi = \arctan \left( \frac{67.7}{96.6} \right) \approx 35.02^\circ$

② 最大主应力和最小主应力的计算

摩尔应力圆的半径

半径公式为：
$r = \frac{\tau}{\cos \varphi}$
代入 $\tau = 67.7 \, \text{kPa}$，$\varphi = 35.02^\circ$：
$r = \frac{67.7}{\cos 35.02^\circ} \approx 82.67 \, \text{kPa}$

圆心坐标

圆心坐标公式为：
$p = \sigma + \tau \tan \varphi$
代入 $\sigma = 96.6 \, \text{kPa}$，$\tau = 67.7 \, \text{kPa}$，$\varphi = 35.02^\circ$：
$p = 96.6 + 67.7 \times \tan 35.02^\circ \approx 144.04 \, \text{kPa}$

最大主应力和最小主应力

最大主应力：
$\sigma_1 = p + r = 144.04 + 82.67 \approx 226.11 \, \text{kPa}$
最小主应力：
$\sigma_3 = p - r = 144.04 - 82.67 \approx 61.37 \, \text{kPa}$

方向说明：

• 最大主应力作用方向与剪切面夹角为 $45^\circ - \frac{\varphi}{2} \approx 45^\circ - 17.51^\circ = 27.49^\circ$。
• 最小主应力作用方向与最大主应力垂直。