有一一维单原子链,间距为a,总长度为Na。求(1)用紧束缚近似求出原子s态能级对应的能带E(k)函数。(2)求出其能态密度函数的表达式。(3)如果每个原子s态只有一个电子,求等于T=0K的费米能级及处的能态密度。<解>(2) , (3), 1.3、证明:体心立方晶格的倒格子是面心立方,面心立方晶格的倒格子是体心立方。证明:面心立方的倒格子是体心立方;体心立方的倒格子是面心立方。证明:(1)面心立方的正格子基矢(固体物理学原胞基矢):由倒格子基矢的定义:,同理可得:即面心立方的倒格子基矢与体心立方的正格基矢相同。所以,面心立方的倒格子是体心立方。(2)体心立方的正格子基矢(固体物理学原胞基矢):由倒格子基矢的定义:,同理可得:即体心立方的倒格子基矢与面心立方的正格基矢相同。故体心立方的倒格子是面心立方。1.4证明:倒格子的原胞体积为,其中为正格子原胞的体积。1.5证明:倒格子矢量垂直于密勒指数为)的晶面系。证明:因为,利用,容易证明所以,倒格子矢量垂直于密勒指数为的晶面系。1.6对于简单立方晶格,证明密勒指数为(h,k,l)的晶面系,面间距d满足:,其中a为立方边长。解:简单立方晶格:,由倒格子基矢的定义:,,倒格子基矢:倒格子矢量:,晶面族的面间距: ,2.1、两种一价离子组成的一维晶格的马德隆常数()和库仑相互作用能,设离子的总数为。<解>设想一个由正负两种离子相间排列的无限长的离子键,取任一负离子作参考离子(这样马德隆常数中的正负号可以这样取,即遇正离子取正号,遇负离子取负号),用r表示相邻离子间的距离,于是有 前边的因子2是因为存在着两个相等距离的离子,一个在参考离子左面,一个在其右面,故对一边求和后要乘2,马德隆常数为, 当X=1时,有2.2讨论使离子电荷加倍所引起的对NaCl晶格常数及结合能的影响(排斥势看做不变)解:3.7、设三维晶格的光学振动在q=0附近的长波极限有求证:;.<解>依据,并带入上边结果有2.3、若一晶体的相互作用能可以表示为试求:(1)平衡间距;(2)结合能(单个原子的);(3)体弹性模量;(4)若取,计算及的值。解:(1)由,有:(2)单个原子的结合能,,,(3)体弹性模量晶体的体积,A为常数,N为原胞数目晶体内能, ,由平衡条件,得, ;体弹性模量(4)①②将,代入①②3.1、已知一维单原子链,其中第个格波,在第个格点引起的位移为,,为任意个相位因子,并已知在较高温度下每个格波的平均能量为,具体计算每个原子的平方平均位移。<解>任意一个原子的位移是所有格波引起的位移的叠加,即(1)由于数目非常大为数量级,而且取正或取负几率相等,因此上式得第2项与第一项相比是一小量,可以忽略不计。所以,由于是时间的周期性函数,其长时间平均等于一个周期内的时间平均值为(2)已知较高温度下的每个格波的能量为KT,的动能时间平均值为其中L是原子链的长度,使质量密度,为周期。所以(3)因此将此式代入(2)式有所以每个原子的平均位移为4.1、根据状态简并微扰结果,求出与及相应的波函数及?,并说明它们的特性.说明它们都代表驻波,并比较两个电子云分布说明能隙的来源(假设=)。<解>令,,简并微扰波函数为取,带入上式,其中<0, ,从上式得到B= -A,于是, =( )