题目
用力法计算图示结构并作弯矩图,各杆EI=常数。(16分)2m 2m
用力法计算图示结构并作弯矩图,各杆EI=常数。(16分)
题目解答
答案
解:(1) 一次超静定,P=10,
,基本体系和基本未知量,如图(a)所示。
(2) 列力法方程
(3) 作
图,见图(b) ; 作
图,见图(c)
(4) 计算
,
;
(kN)
(5) 作
图
,见图(d)
(a)基本体系 (b) (c) (d)图
23用位移法计算图示连续梁,列出典型方程,求出系数项和自由项。各杆EI=常数。(14分)
解:(1)这个连续梁的基本未知量只有一个刚结点的角位移
。 基本体系如图所示。
(2)位移法典型方程 
(3) 作
图 、 图 如下图所示。
基本体系 
图 
图
(4) 令, ,则系数项
, 自由项
解析
步骤 1：确定超静定次数和基本体系
结构为一次超静定，选取基本体系，即去掉多余约束，将多余约束处的约束力作为基本未知量。这里选取去掉中间支座的约束力作为基本未知量，记为$X_1$。
步骤 2：列出力法方程
根据力法原理，列出力法方程$S_{11}X_1 + \Delta_{1P} = 0$，其中$S_{11}$是基本体系在$X_1=1$作用下的位移，$\Delta_{1P}$是基本体系在荷载作用下的位移。
步骤 3：计算$S_{11}$和$\Delta_{1P}$
计算$S_{11}$，即基本体系在$X_1=1$作用下的位移。由于结构是对称的，可以简化计算。$S_{11} = \frac{4l^3}{3EI}$，其中$l=2m$，代入计算得$S_{11} = \frac{32}{3EI}$。
计算$\Delta_{1P}$，即基本体系在荷载作用下的位移。荷载作用下，中间支座处的位移为$\Delta_{1P} = -\frac{10 \times 2^2}{8EI} = -\frac{40}{8EI} = -\frac{5}{EI}$。
步骤 4：求解基本未知量$X_1$
将$S_{11}$和$\Delta_{1P}$代入力法方程$S_{11}X_1 + \Delta_{1P} = 0$，得$\frac{32}{3EI}X_1 - \frac{5}{EI} = 0$，解得$X_1 = \frac{15}{32}kN$。
步骤 5：绘制弯矩图
根据基本体系和基本未知量$X_1$，绘制弯矩图。弯矩图由基本体系在$X_1=1$作用下的弯矩图和荷载作用下的弯矩图叠加而成。
结构为一次超静定，选取基本体系，即去掉多余约束，将多余约束处的约束力作为基本未知量。这里选取去掉中间支座的约束力作为基本未知量，记为$X_1$。
步骤 2：列出力法方程
根据力法原理，列出力法方程$S_{11}X_1 + \Delta_{1P} = 0$，其中$S_{11}$是基本体系在$X_1=1$作用下的位移，$\Delta_{1P}$是基本体系在荷载作用下的位移。
步骤 3：计算$S_{11}$和$\Delta_{1P}$
计算$S_{11}$，即基本体系在$X_1=1$作用下的位移。由于结构是对称的，可以简化计算。$S_{11} = \frac{4l^3}{3EI}$，其中$l=2m$，代入计算得$S_{11} = \frac{32}{3EI}$。
计算$\Delta_{1P}$，即基本体系在荷载作用下的位移。荷载作用下，中间支座处的位移为$\Delta_{1P} = -\frac{10 \times 2^2}{8EI} = -\frac{40}{8EI} = -\frac{5}{EI}$。
步骤 4：求解基本未知量$X_1$
将$S_{11}$和$\Delta_{1P}$代入力法方程$S_{11}X_1 + \Delta_{1P} = 0$，得$\frac{32}{3EI}X_1 - \frac{5}{EI} = 0$，解得$X_1 = \frac{15}{32}kN$。
步骤 5：绘制弯矩图
根据基本体系和基本未知量$X_1$，绘制弯矩图。弯矩图由基本体系在$X_1=1$作用下的弯矩图和荷载作用下的弯矩图叠加而成。