某工厂生产计算器,若日产量为x台的成本函数为C(x)=7500+50x-0.02x 2 ,收入函数为R(x)=80x-0.03x 2 ,且产销平衡,试确定日生产多少台计算器时,工厂的利润最大?(分数:7.00)__________________________________________________________________________________________ 正确答案:()

考查要点：本题主要考查利润最大化问题，涉及二次函数的极值或导数的应用。
解题思路：

1. 利润函数的构建：利润=收入-成本，需正确代入并化简函数表达式。
2. 求极值点：通过二次函数顶点公式或导数法找到利润最大时的产量。
   关键点：

• 正确合并同类项，确保利润函数形式正确。
• 二次项系数为负，说明函数开口向下，存在最大值。
• 导数法验证：一阶导数为零的点即为极值点，二阶导数判断凹凸性。

步骤1：构建利润函数
利润函数定义为：
$L(x) = R(x) - C(x)$
代入已知函数：
$L(x) = (80x - 0.03x^2) - (7500 + 50x - 0.02x^2)$
展开并合并同类项：
$L(x) = 80x - 0.03x^2 - 7500 - 50x + 0.02x^2$
$L(x) = 30x - 0.01x^2 - 7500$

步骤2：求利润最大值点
利润函数为二次函数，开口向下（二次项系数 $-0.01 < 0$），最大值出现在顶点处。
顶点横坐标公式：
$x = -\frac{b}{2a}$
其中 $a = -0.01$，$b = 30$，代入得：
$x = -\frac{30}{2 \times (-0.01)} = 1500$

步骤3：导数验证

• 一阶导数：
  $L'(x) = 30 - 0.02x$
  令 $L'(x) = 0$，解得：
  $30 - 0.02x = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 1500$
• 二阶导数：
  $L''(x) = -0.02 < 0$
  说明 $x = 1500$ 是极大值点，即利润最大值点。